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1、1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一) 试卷 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求幂级数 1 ( 3) 3 n n n x n 的收敛域. (2)设 2 ( ) e , ( ) 1 x f x f x x 且 ( ) 0 x ,求 ( ) x 及其定义域. (3)设 为曲面 2 2 2 1 x y z 的外侧,计算曲面积分 3 3 3 . I x dydz y dzdx z dxdy 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上) (1)若 2 1 ( ) lim (1 ) , tx x f t t x 则 ( )
2、 f t = _. (2)设 ( ) f x 连续且 3 1 0 ( ) , x f t dt x 则 (7) f =_. (3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 ( 1,1 上定义为 ( ) f x 2 2 x1 0 0 1 x x ,则的傅里叶 ( ) Fourier 级数在 1 x 处收敛于_. (4)设 4 阶矩阵 2 3 4 2 3 4 , , , , , , , , A B 其中 2 3 4 , , , , 均为 4 维列向量,且已知行列式 4, 1, A B 则行列式 A B = _. 三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一
3、个符合题目要求,把所选项 前的字母填在题后的括号内) (1)设 ( ) f x 可导且 0 1 ( ) , 2 f x 则 0 x 时, ( ) f x 在 0 x 处的微分dy 是 (A)与 x 等价的无穷小 (B) 与 x 同阶的无穷小 (C)比 x 低阶的无穷小 (D)比 x 高阶的无穷小 (2)设 ( ) y f x 是方程 2 4 0 y y y 的一个解且 0 0 ( ) 0, ( ) 0, f x f x 则函数 ( ) f x 在点 0 x 处 (A)取得极大值 (B) 取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域 2 2 2 2 2 2 2 2
4、 1 2 : , 0, : , 0, 0, 0, x y z R z x y z R x y z 则 (A) 1 2 4 xdv dv (B) 1 2 4 ydv ydv (C) 1 2 4 zdv zdv (D) 1 2 4 xyzdv xyzdv (4)设幂级数 1 ( 1) n n n a x 在 1 x 处收敛,则此级数在 2 x 处 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n 维向量组 1 2 , , , (3 ) s s n L 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数 1 2 , , , , s k k k L 使 1 1 2 2 0 s
5、s k k k L (B) 1 2 , , , s L 中任意两个向量均线性无关 (C) 1 2 , , , s L 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) 1 2 , , , s L 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分 6 分) 设 ( ) ( ), x y u yf xg y x 其中函数 f 、g 具有二阶连续导数,求 2 2 2 . u u x y x x y 五、(本题满分 8 分) 设函数 ( ) y y x 满足微分方程 3 2 2e , x y y y 其图形在点 (0,1) 处的切线与曲线 2 1 y x x 在该点处 的切线重合,求函数 ( ).
6、y y x 六、 （本题满分 9 分） 设位于点 (0,1) 的质点A 对质点M 的引力大小为 2 ( 0 k k r 为常数,r 为A 质点与M 之间的距离), 质点M 沿直 线 2 2 y x x 自 (2,0) B 运动到 (0,0), O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功. 七、 （本题满分 6 分） 已知 , AP BP 其中 1 0 0 1 0 0 0 0 0 , 2 1 0 , 0 0 1 2 1 1 B P 求 5 , . A A 八、 （本题满分 8 分） 已知矩阵 2 0 0 0 0 1 0 1 x A 与 2 0 0 0 0 0 0 1 y B 相似. (
7、1)求x 与 . y (2)求一个满足 1 P AP B 的可逆阵 . P 九、 （本题满分 9 分） 设函数 ( ) f x 在区间 , a b 上连续,且在 ( , ) a b 内有 ( ) 0, f x 证明:在 ( , ) a b 内存在唯一的 , 使曲线 ( ) y f x 与 两直线 ( ), y f x a 所围平面图形面积 1 S 是曲线 ( ) y f x 与两直线 ( ), y f x b 所围平面图形面积 2 S 的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于 19 , 27 则事件A 在一次试验 中出现的概率是_. (2)若在区间 (0,1) 内任取两个数,则事件”两数之和小于 6 5 ”的概率为_. (3)设随机变量X 服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知 2 2 1 ( ) e , (2.5) 0.9938, 2 u x x du 则X 落在区间 (9.95,10.05) 内的概率为_. 十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量X 的概率密度函数为 2 1 ( ) , (1 ) X f x x 求随机变量 3 1 Y X 的概率密度函数 ( ). Y f y
