第九讲 支路电流法

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1、课题8：支路电流法、网孔电流法和节点电压法 课 型：讲授 教学目的 ： （1） 利用支路电流法求解复杂直流电路 （2） 利用网孔电流法求解支路数目较多的电路。 （3） 利用节点电压法求解节点较少而网孔较多的电路 重点、难点： 重点：支路电流法、网孔电流法、节点电压法求解复杂直流电路 难点：列方程过程中电压、电流参考方向及符号的确定。 教学分析： 本节主要还是在巩固基尔霍夫定律的基础上，利用实例分析支路电流法、网孔电流法、 节点电压法并将其用于实践案例中。 复习、提问： （1） 节点的概念和判别？ （2） 网孔的概念和判别？ 教学过程： 导入：求解复杂电路的方法有多种，我们可以根据不同电路特点，

2、选用不同的方法去求解。 其中最基本、最直观、手工求解最常用的就是支路电流法。 一、支路电流法 利用支路电流法解题的步骤：（1）任意标定各支路电流的参考方向和网孔绕行方向。（2）用基尔霍夫电流定律列出节点电流方程。有 n个节点，就可以列出 n-1 个独立 电流方程。（3）用基尔霍夫电压定律列出 L=b-（n-1）个网孔方程。 说明：L 指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。（4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。 例 1试用支路电流法求图 1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流 I 及每台发电机 的输出电流 I 1 、和 I 2 。已知：R 1 =1，R 2 =0.6，R=2

3、4，E 1 =130V，E 2 =117V。 解：（1）假设各支路电流的参考方向和网孔绕行方向如图示。 图1（2）根据KCL，列节点电流方程该电路有A、B两个节点，故只能列一个节点电流方程。对于节点A有：I 1 +I 2 =I （3）列网孔电压方程该电路中共有二个网孔，分别对左、右两个网孔列电压方程：I 1R 1 - I 2R 2 + E 2 -E 1 =0 （沿回路循行方向的电压降之和为零，如果 在I R+I 2R 2 - E 2 =0 该循行方向上电压升高则取负号） （4）联立方程，代入已知条件，可得：-I 1 -I 2 +I=0I 1 -0.6I 2 =130-1170.6I 2 +24

4、I=117解得各支路电流为：I 1 =10A I 2 =-5A I=5A从计算结果，可以看出发电机 E 1 输出10A的电流 ，发电机 E 2 输出-5A的电流，负 载电流为5A。由此可以知道：结论：两个电源并联时，并不都是向负载供给电流和功率的，当两电源的电动势相 差较大时，就会发生某电源不但不输出功率，反而吸收功率成为负载。因此，在实际 供电系统中，直流电源并联时，应使两电源的电动势相等，内阻应相近。所以当具有并联电池的设备换电池的时候，要全部同时换新的，而不要一新一旧。 思考：若将例1中的电动势E 2 、I 2 极性互换，列出用支路电流法求解I、I 1 、和I 2 所需的方程。 从前面的

5、例子可以看出：支路电流法就是通过联立 n-1 个节点电流方程，L 个网孔 电压方程（n为节点数，L 为网孔数） 。但所需方程的数量取决于需要解决的未知量的多少。原则上，要求 B 条支路电流就设 B 个未知数。那么有没有特例呢？ 例 2 用支路电流法列出如图 2电路中各支路电流的方程。 （已知恒流源 I S 所在支路电流是 已知的） 解： 由电路图可见该电路中有一恒流源支路，且其大小是已知的，所以在解题的时候 只需要考虑其余两条未知支路的电流即可。 （1）假设流过 R 1 、R 2 的电流方向及 网孔绕行方向如图示。（2）列节点电流方程： I 1 +I 2 = I S（3）列网孔电压方程 I 2

6、R 2 +E-I 1R 1 =0 联立以上两个方程，代入数据即可求得。 图 2 （象这种具有一个已知支路电流的电路就可以少列一个方程） 例3 试用支路电流法求解如图3电路中各支路电流，列出方程。 （P191 9-13题）图3 解：各支路电流、网孔绕行方向如图3示。列KCL、KVL定律，得：I 1 +I 2 +10=I E 2 -I 2R 2 + I 1R 1 - E 1 =0 I R L +I 2R 2 - E 2 =0 例 4 用支路电流法求解电路图 4中各支路的电流。解：可以看出该电路共有 6条支路，4个节点， 3个网孔。设定各支路电流和网孔绕行方向如图标示。 （1） 根据 KCL 定律，

7、列节点电流方程（可列三个 独立方程）I 1 +I 6 =I 2 I 3 +I 4 =I 1I 4 +I 6 =I 5图 4 （2）根据 KVL 定律，列出回路电压方程（可立出三个独立的回路电压方程）I 1 R 1 -I 6 R 6 +I 4 R 4 =0I 2 R 2 +I 5 R 5 + I 6 R 6=0- I 4 R 4- I 5 R 5 +I3R 3 -E=0 从该例发现，用支路电流法求解支路数量较多的电路时，所需列的方程数也较多，这 就使得求解较为繁杂了。那么针对这样的电路，有没有什么更适合的方法来求解呢？二、回路（网孔）电流法 为了求解方便，我们考虑若以回路电流为未知量，是不是就可

8、以大大减少了方程数量， 避免求解繁琐呢？ 1、回路电流法：在电路中确定出全部独立回路，以回路电流为未知数，根据基尔霍 夫电压定律列出含有回路电流的回路电压方程，然后求解出各回路电流，而各支路电流等 于该支路内所通过的回路电流的代数和。 2、解题步骤：（以图 5为例讲解）图 5 （1）确定独立回路，并设定回路绕行方向。 独立回路是指每次所选定的回路中至少要包含一条新支路，即其他支路未曾用过的支 路。如图 5所示，设定顺时针方向为独立回路电流的绕行方向。 （2）列以回路电流为未知量的回路电压方程。 注意：若某一电阻上有两个或两个以上独立回路电流流过时，该电阻上的电压必须 写成两个或两个以上回路电流

9、与电阻乘积的代数和。而且要特别注意正、负符号的确定， 以自身回路电流方向为准。即自身回路电流与该电阻的乘积取正，如图 5回路 A 中，R 5 上 的压降为 I A R 5 ，取正。而另一回路电流的方向与自身回路电流方向相同时，取正，相反时取负，如图 5回路 A 中，I A 和 I C 反向，此时 I C 在 R 5 上的压降为 I C R 5 ，取负。若回路中 含有电压源时，电动势方向和回路电流的绕行方向不一致时（电动势两端电压方向和电流 绕行方向一致时） ，取正；反之取负。 按照以上原则，用回路电流法可列方程：（3）解方程求回路电流 将已知数据代入方程，可求得各回路电流 I A 、I B 、

10、I C（4）求各支路电流。 支路电流等于流经该支路的各回路电流的代数和。此时需注意的是电流方向问题，要 以支路电流方向为参考，即若回路电流方向和支路电流方向一致，则取正，相反则取负。 如图 5中，各支路电流： （5）进行验算。验算时，选外围回路列 KVL 方程验证。若代入数据，回路电压之和 为 0，则说明以上数据正确。 根据以上步骤，我们发现一个特点，解题的关键是第一步，确定独立回路，选择新的 未曾使用过的独立回路，这个比较容易重复，那么如果我们选择网孔作为独立回路，是不 是就不会有这样一个问题了呢？网孔是回路的特例，它是独立的。网孔之间没有重叠交叉， 列方程更加容易，这种方法称为网孔电流法。

11、下面我们就用网孔电流法来求解电路 5中的 支路电流。 例 5 已知 R 1 =R 2 = R 3 =R 4 = R 5 =R 6 =1K，E 1 =1V，E 2 =2V，用网孔电流法求解图 6电路 中各支路电流。 解：（1）确定网孔。并设定网孔电流的绕行方向。如图 6所示，规定网孔电流方向 为顺时针方向。 （2）列以网孔电流为未知量的回路电压方程。 （3）解方程求各网孔电流。 图 6解此方程组得： （4）求支路电流得：（5）验算。列外围电路电压方程验证。由上面的例子可以看出，网孔电流法的解题思想，就是用较少的方程求解多支路电路 的支路电流。先以回路电流为未知量，列出以电流为未知量的网孔电压方程

12、，再求解支路 电流。要注意的是，列回路电压方程时，回路电流的方向，要以自身回路电流方向为参考。 电动势的方向也要依据回路电流方向。然后求解支路电流时，要以支路电流方向为参考。但是可以发现如果网孔较多的话，同样存在方程数量过多，解题繁琐的问题。 三、节点电压法对于节点较少而网孔较多的电路，用支路电流法和网孔电流法都比较麻烦，方程过多， 不易求解。在这种情况下，如果选取节点电压作为独立变量，可使计算简便得多。这就是 我们要学习的另一种方法节点电压法。 1、节点电压法解题步骤： （1） 选择参考节点，设定参考方向 （2） 求节点电压 U （3） 求支路电流 例 6 电路如图 7，求解各支路电流 I

13、1 、I 2 、I 3 、I 4 。 解：（1）选择参考节点，设定参考方向。 选择电路中 B 点作为参考点，并设定 节点电压为 U，其参考方向为由 A 至 B。 （这里也可选择以 A 点为 图 7 参考点，参考方向由 B 至 A） 图 7 （2）求节点电压 U 各支路的电流可应用 KCL、KVL 或欧姆定律得出，即： I 1 =（E 1 -U）/ R 1 I 2 =（E 2 -U）/ R 2 I 3 =（E 3 -U）/ R 3 I 4 =U/ R 4 根据 KCL 定律可得：I 1 +I 2 +I 3 +I 4 =0将 I 1 、I 2 、I 3 、I 4 的值代入 I 1 +I 2 +I

14、3 +I 4 =0 中 得：（E 1 -U）/ R 1 +（E 2 -U）/ R 2 +（E 3 -U）/ R 3 +U/ R 4 =0 可求得： 这就是节点电压计算公式。式中，分子的各项由电动势 E 和节点电压 U 的参考方向确 定其正、负号，当 E 和 U 的参考方向相同取负号，相反时取正号。凡是具有两个节点的电 路，可直接利用上式计算求出节点电压。 （3）求支路电流。 求出节点电压 U 后，将 U 代入电流公式中，即可求出各支路电流。 I 1 =（E 1 -U）/ R 1 I 2 =（E 2 -U）/ R 2 I 3 =（E 3 -U）/ R 3 I 4 =U/ R 4 例 7 求解图

15、1电路中各支路电流 I 1 、I 2 、I。 解：设 B 点为参考点，设定节点电压方向 A 至 B，则 A、B 两点间电压 U 为各支路电流为： I 1 =（E 1 -U）/ R 1 =10A I 2 =（E 2 -U）/ R 2 =-5A I=U/ R=5A 用节点电压法求解时，同样要注意的是电压方向问题，当电动势方向和电压参考方向 相同时取负号，相反时取正号。 课堂小结： 1、支路电流法即利用基尔霍夫电流定律列出（n-1）个节点电流方程和利用基尔霍夫电 压定律列出 L（网孔数）个回路电压方程，再联立解方程组，从而求解出各支路电 流的最基本、最直观的一种求解复杂电路的方法。2、网孔电流法用于求节点支路较多的电路，避免了用支路电流法求解方程过多，带来解 题繁杂的问题。解题方法是先求网孔电流再利用网孔电流求支路电流。