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1、1 高三数学应用题练习 【南京市】17. （本题满分 14 分） 如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A、B 在直径上，点 C、D 在圆周上。 （1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最 大面积； （2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的 圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才 能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.2 【常州市第 17 题】 【盐城市】18(本小题满分 14 分) 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的 建议,现决
2、定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 ,且 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)变化 (1 4 a a ) a R y x 的函数关系式近似为 ,其中 . ( ) y a f x 16 1 (0 4) 8 ( ) 1 5 (4 10) 2 x x f x x x 若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之 和.根据经验, 当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （）若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? （）若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 个单位的药剂,
3、要使接下来的 4 天 a 中能够持续有效治污,试求 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 取 1.4). a 2 18解：（）因为 ,所以 1 分 4 a 64 4(0 4) 8 20 2 (4 10) x y x x x 则当 时,由 ,解得 ,所以此时 3 分 0 4 x 64 4 4 8 x 0 x 0 4 x 当 时,由 ,解得 ,所以此时 5 分 4 10 x 20 2 4 x 8 x 4 8 x 3 综合,得 ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天 6 分 0 8 x （）当 时, 9 分 6 10 x 1 16 2 (5 ) ( 1) 2 8 ( 6) y x
4、 a x = = ,因为 ,而 , 16 10 14 a x a x 16 (14 ) 4 14 a x a x 14 4,8 x 1 4 a 所以 ,故当且仅当 时,y 有最小值为 12 分 4 4,8 a 14 4 x a 8 4 a a 令 ,解得 ,所以 的最小值为 14 分 8 4 4 a a 24 16 2 4 a a 24 16 2 1.6 【镇江市】4 【无锡市】5 【苏州市】6 【徐州市、宿迁市】 17解：（1）设点 C 受 A 污染源污染程度为 ，点 C 受 B 污染源污染程度为 ， 2 ka x 2 (18 ) kb x 其中 为比例系数，且 4 分 k 0 k 从而点
5、C 处受污染程度 6 分 2 2 (18 ) ka kb y x x （2）因为 ，所以， ， 8 分 1 a 2 2 (18 ) k kb y x x ，令 ，得 ， 12 分 3 3 2 2 (18 ) b y k x x 0 y 3 18 1 x b 又此时 ，解得 ，经验证符合题意 6 x 8 b 所以，污染源B 的污染强度 的值为 8 14 分 b 【苏北四市第一次调研】 19.（本小题满分 16 分） 如图 1，OA，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一 条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA，OB
6、平行的栈桥 MG，MK，且以 MG，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK建立如图 2 所示的 直角坐标系，测得 CD 的方程是 2 20(0 20) x y x ，曲线 EF 的方程是 200( 0) xy x ， 设点 M 的坐标为 ( , ) s t （题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度） （1）求三角形观光平台 MGK 面积的最小值； （2）若要使 MGK 的面积不小于 320 平方米，求 t 的范围 图 1 图 27 19 （1）由题意，得 100 ( , ) G t t ， 100 ( , ) K s s ( 0, 0) s t ， 又因为 ( , ) M
7、s t 在线段 CD： 2 20(0 20) x y x 上， 所以 2 20(0 20) s t s ， 1 1 200 200 1 40000 ( )( ) ( 400) 2 2 2 MGK S MG MK s t st t s st 4 分 由 20 2 2 2 2 2 s t s t u ，得 0 50 st ，当且仅当 10 s ， 5 t 时等号成立. 6 分 令 st u ，则 1 40000 ( ) ( 400) 2 MGK f u S u u ， (0,50 u . 又 2 1 10000 ( ) (1 ) 0 2 f u u ，故 ( ) f u 在 (0,50 上单调递减
8、， （注意：若 ( ) f u 在 (0,50 上单调递减未证明扣 1 分） 所以 min ( ) (50) 225 f u f ，此时 10 s ， 5 t . 所以三角形 MGK 面积的最小值为 225 平方米. 10 分 （2）由题意得 ( ) 320 f u ， 当 1 40000 ( 400) 320 2 u u ，解得 40 u 或 1000 u （舍去） ， 由（1）知 40 st ， 14 分 即 (20 2 ) 40 t t ，解之得 5 5 5 5 t . 所以 t 的范围是 5 5,5 5 16 分 【泰州市】8 17. 由已知第 7 天的销售价格 ，销售量 . 第 7
9、天的销售收入 49 p 41 q (元) . （3 分） 7 49 41 2009 W 设第 天的销售收入为 ，则 .（6 分） x x W (44 )(48 ) 1 6 2009 7 (56 )(32 ) 8 20 x x x x W x x x x 当 时， .（当且仅当 1 6 x 2 (44 ) (48 ) (44 )(48 ) ( ) 2116 2 x x x W x x 时取等号）当 时取最大值 .（9 分） 2 x 2 x 2 2116 W 当 时， .（当且仅当 8 20 x 2 (56 ) (32 ) (56 )(32 ) ( ) 1936 2 x x x W x x 时取等
10、号）当 时取最大值 . （12 分） 12 x 12 x 12 1936 W 由于 ，第 2 天该农户的销售收入最大. （13 分） 2 7 12 W W W 答：第 7 天的销售收入 2009 元；第 2 天该农户的销售收入最大. （14 分） 【扬州市】18.（本小题满分15分） 某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为 ，通过金 m 2 属杆 支撑在地面 处（ 垂直于水平面） ， 是圆环上的三 3 2 1 , , , CA CA CA BC B BC 3 2 1 , , A A A 等分点，圆环所在的水平面距地面 ，设金属杆 所在直线与圆环所在水 m 10 3
11、2 1 , , CA CA CA 平面所成的角都为 。 （圆环及金属杆均不计粗细） （1）当 的正弦值为多少时，金属杆 的总长最短？ 3 2 1 , , , CA CA CA BC （2）为美观与安全，在圆环上设置 个等分点，并仍按上面方法连接， 4 , , , 2 1 n A A A n L 若还要求金属杆 的总长最短，对比（1）中 点位置，此时 点将 n CA CA CA BC , , , , 2 1 L C C 会上移还是下移，请说明理由。 18解：（）设 为圆环的圆心，依题意，CA 1 O=CA 2 O=CA 3 O= ， O CA 1 =CA 2 =CA 3 = ，CO= ， 2 c
12、os 2tan 设金属杆总长为 ym，则 = ， （ ） 6 10 2tan cos y 2(3 sin ) 10 cos 0 2 2 A B C 3 A 1 A9 ， 2 2(3sin 1) cos y 当 时， ；当 时， ， 1 sin 3 0 y 1 sin 3 0 y 当 时，函数有极小值，也是最小值。 7 分 1 sin 3 （）依题意， = ， 2 10 2tan cos n y 2( sin ) 10 cos n ， 2 2( sin 1) cos n y 当 时， ；当 时， ， 1 sin n 0 y 1 sin n 0 y 当 时，函数有极小值，也是最小值。13 分 1 sin n 当n4时， ，所以C点应上移。 15 分 1 1 3 n
