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1、2010-2011学年第一学期高等数学期中试题答案（B）卷 第 1 页 共 3 页 一、单项选择题（每小题3分，共21分） 1. 设数列 与 满足 ，则下列命题正确的是 B . n x n y lim 0 n n n x y A. 若 发散，则 发散 B. 若 为无穷小，则 必为无穷小 n x n y 1 n x n y C. 若 收敛，则 必有界 D. 若 有界，则 必为无穷小 n x n y n x n y 2. A 。 ) 1 ( lim 2 x x x A. B. C. D. 0 3 2 1 2 3.设 ，则当 时， 是 B ( ) 2 3 2 x x f x 0 x ( ) f x
2、A. 与 的等价无穷小； B. 与 同阶但非等价无穷小； x x C. 比 高阶的无穷小； D. 比 低阶的无穷小 x x 4. 图形在点 处切线与 轴交点的坐标是 A 3 2 1 1 ( ) 6 1 3 2 f x x x x (0,1) x A. ； B. ；C. ； D. 1 ( ,0) 6 1 ( ,0) 6 ( 1,0) (0,1) 5.设 ,则 在 处A 2 1 , 1 ( ) 1 2, 1 x x f x x x ( ) f x 1 x A. 不连续； B. 连续但不可导；C. 可导且导数不连续； D. 可导且导数连续 6. 设在 上， ，则 和 的大小顺序 0,1 ( ) 0
3、f x (1), (0), (1) (0) f f f f (0) (1) f f 为 B . A B. (1) (0) (1) (0) f f f f (1) (1) (0) (0) f f f f C. D. (1) (0) (1) (0) f f f f (1) (0) (1) (0) f f f f 得分 阅卷人 7. 下列函数在 上满足罗尔定理全部条件的是 C . 1 , 1 A B. 1 | | y x 1 y x x C. D. 2 1 y x 1 y x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 0 . 2 0 lim 1 sin tan x x x x e 2. 若函数 有无
4、穷间断点 及可去间断点 ，则常数 . e ( ) ( 1) x a f x x x 0 x 1 x a e 3.设 ，则 y y x dy dx x y x y ) ln 1 ( 2 4. 设 ，则 2 1 cos f x x ( ) f x 3 2 1 sin 2 x x 5. 的带佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式为 ( ) tan f x x ) ( 3 3 3 x o x x 三、计算（每题10分，共40分） 1、 1 lim 1 2 3 n n n n 解：因为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （3分） 3 1 2 3 3 3 n n n n 所以 。 。 。 。 。 。 。 。 。
5、 。 （5分） 1 1 3 1 2 3 3 3 n n n n 又因为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （8分） 1 3 lim 1 n n 由夹逼准则得 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （10分） 1 lim 1 2 3 3 n n n n 得分 阅卷人 密封线试卷适用班级 班级 姓名 学号 2010-2011学年第一学期高等数学期中试题答案（B）卷 第 2 页 共 3 页2、讨论函数 在 处的连续性与可导性。 2 3 , 1 ( ) 2 , 1 x x x f x x x 1 x 解： = = 。 。 。 。 。 。 。
6、。 。 （4分） 2 ) ( lim ) ( lim 2 1 1 x x x f x x ) 1 ( f 2 2 lim ) ( lim 3 1 1 x x f x x （每求对一个极限得两分） 所以函数 在 处是连续的。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （5分） ) (x f 1 x。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （7分） 3 ) 2 ( lim 1 ) 2 )( 1 ( lim 1 2 lim ) 1 ( 1 1 2 1 x x x x x x x f x
7、 x x 。 。 。 。 。 。 。 （9分） 6 ) 1 ( 2 lim 1 ) 1 )( 1 ( 2 lim 1 2 2 lim ) 1 ( 2 1 2 1 3 1 x x x x x x x x f x x x 所以函数 在 处不可导。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （10分） ) (x f 1 x 3、求 所确定的函数 的二阶导数 。 tan( ) y x y ( ) y y x 2 2 d d y x 解：对方程两边求关于 的导数。 。 。 。 。 。 。
8、 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （1分） x 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （3分） ) 1 )( ( sec 2 y y x y 所以 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （5分） ) ( csc 2 y x y 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （8分） ) 1 ( ) cot( ) csc( ( ) csc( 2 y y x y x y x y 。 。 。
9、（10分） ) ( cot ) ( csc 2 ) ( cot ( ) cot( ) ( csc 2 ) 1 ( ) cot( ) csc( ( ) csc( 2 3 2 2 2 y x y x y x y x y x y y x y x y x y 4、设 ，求 . cos (sin ) x y x dy 解：函数为幂指函数，所以 。 。 。 。 。 。 。 （2分） cos ln(sin ) (sin ) x conx x y x e 因此 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （5分） ln(sin ) cos (ln sin ) conx
10、x y e x x 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （8分） cos cos sin ( sin ln(sin ) cos ) sin x x x x x x x 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （9分） cos cot cos sin ln(sin ) sin x x x x x x 所以 。 。 。 。 。 。 。 。 （10分） cos cot cos sin ln(sin ) sin x dy x x x x x dx 也可用对数求导法来求。四、讨论方程 （ ）的实根的个数。 （12分） x xe a 0 a 解：设 ，则 。令 得， 。 。 。 。 。
11、(2分) a xe y x ) 1 ( x e xe e y x x x 0 y 1 x 当 时 ，所以 在 上单调递增； 1 , ( x 0 ) ( x y y 1 , ( 当 时 ，所以 在 上单调递减。 ) , 1 x 0 ) ( x y y ) , 1 所以函数 在 处取得最大值 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （4分） y 1 x a e 1 又因为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
12、。 。 （6分） a e x y x x x lim lim 洛 a e x x 1 lim 0 a （1） ：则 ，因此方程无实根；。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （8 1 e a 0 ) 1 ( y 分） （2） ：则 ，因此方程有一个实根 ；。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （10 1 e a 0 ) 1 ( y 1 x 分） （3） ：则 ，由介值性定理知此时方程有两个实根。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 （12分） 1 e a 0 ) 1 ( y 得分 阅卷人试卷适用班级 理工本专科各专业班级 班级 姓名 学号 密封线
