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1、 1 数学解题思维中的图形计算器参与一例 对 一 道 高 考 题 的 延 伸 探 究 200063 上海市普陀区教育学院中学教研室 刘达 2004 年的上海市数学高考试题依然延续了能力立意的原则，再次涌现了一些值得教师 深入研究的新题。笔者在解答今年上海高考理科试卷第 20 题的同时，自己的思维也不断被 问题所激发。这里，仅将本人的一些探究写下来，与各位分享“边解题，边联想”的点滴收 获。 原题是这样叙述的： 已知二次函数 y=f 1 (x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数 y=f 2 (x)的图象与直 线 y=x的两个交点间距离为 8，f(x)= f 1 (x)+ f 2 (x
2、). (1) 求函数 f(x)的表达式； (2) 证明:当 a3时，关于x 的方程 f(x)= f(a) 有三个实数解. 本题的第一小题难度不大，只需由题设解出相应参数的值就可以最终确定函数 () f x 的 表达式，经解得 2 8 () fx x x =+ 。 在解决第二小题时，也许是出于一个数学教师对这个问题的认识，我首先意识到关于 x 的方程 () () fxfa = 必定会有一个解，即x a = ，于是自然地想到了将方程 () () 0 fx fa = 左侧的表达式进行因式分解，以后的解题思路与高考评分标准的证明方法二类似。 【分析思路一】由 () () fxfa = 得(xa)(x+
3、a ax 8 )=0,可知方程的一个解 x 1 =a. 方程 x+a ax 8 =0 可化为 ax 2 +a 2 x8=0。首先分析=a 4 +32a，由于 3 a ，所以 0 。解到此 处，尚不能确定方程一定有三个不同的实数解，需要进一步分析方程 ax 2 +a 2 x8=0 的两个 解 x 2 = a a a a 2 32 4 2 + 和 x 3 = a a a a 2 32 4 2 + + 与 1 x a = 在题目条件下互不相等。于 是进一步分析，由于 23 8 0 xx a = 3 矛盾。 所以，原方程必有三个不同的实数解。 刚完成解答时我感觉此题虽然有些细节学生不容易把握，但总体而
4、言应当难度不大，然 而学生是否能很快意识到x a = 呢？回顾本题所要研究的方程 x 2 + x 8 = 2 a + a 8 ， 它其实等价于 一个三次方程，在高三学生的数学学习经历中，很少接触到三次方程求解的问题。刚才的证 法，学生可依托的经验也许只有高中复数初步章节对于实系数一元多项式方程在复数范 围内的根的个数研究。需要指出的是，以上这种解题方法考查的是高中数学常用思想方法中 2 “函数与方程”思想的灵活运用能力。由于缺少解题的经验，事实上这种解法对于多数的高 三学生来说是不容易想到的。 当然，本题第二小题要求我们研究方程的解的个数，它其实又给了我们一个运用“数形 结合”思想方法解题的思
5、维空间。我们可将 () () fxfa = 移项变形，得 22 88 xa x a = + + ， 在同一个坐标平面内作出函数 2 1 () gx x = 和 2 2 88 () gx a x a =+的图像，然后研究两者图 像交点的个数。 （当然， () () fxfa = 也可以移项变形得 x 8 =x 2 +a 2 + a 8 ，类似的研究两个函 数图像的交点.） （图 1） 【分析思路二】图 1 是借助了图形计算器作出的当 4 a = 时两个函数 1 () gx和 2 () gx 在 同一坐标系内的图像（当然它们的草图也不难画出） 。我们知道函数 2 () gx 中的参数a对图 像的影
6、响只是上下平移，由草图我们可知，在 3 a 的前提下，只需确定函数 1 () gx和 2 () gx 在第一象限的图像有两个不同的交点即可。当 2 x = 时， 1 (2) 4 g = ， 2 2 8 (2) 4 ga a = + + ， 由 21 3 (2) 5 (2) agg 。又 当 x + 时 22 21 888 () () gx a a gx xaa = + + 是否为结论的充要条件？若不是，那么该 方程有三个实数解的充要条件是什么？ （2）证明方法一中最后所得到的 3 4 a = 究竟有什么意义？ （3）函数 2 8 () fx x x =+ 的图像是什么？如果能够确定，那么我们不
7、就可以通过研究 函数 () f x 的图像与常值函数 2 8 ya a =+ 的交点个数来证明本题？ 为此，我继续作了一番延伸探究。其实，以上三个问题本质上是有关联的。为了尽快满 足我对函数 2 8 () fx x x = + 的图像的“好奇心” ，我拿出了图形计算器作出了函数 3 2 8 () fx x x =+ 的部分图像（如图 2） 。由此猜想：函数 2 8 () fx x x = + 在区间() ,0 单调递 减，而在区间() 0, + 有且仅有一个极值点。证明如下： （图 2） （图 3） 令 3 3 2 8 () 2 0 4 4 fx x x x x = ， 且 3 3 2 8 (
8、) 2 0 4 4 fx x x x x = ； 3 2 8 () 2 0 4 fx x x x = 时， 2 22 3 3 84 4 31 6 34 xx xx x +=+ =，当且仅当 2 3 4 4 xx x = 时等号成立。 从 2 8 () fx x x =+ 的图像我们不难发现， 当 2 3 3 () (4 ) 34 fa f = = 时， 我们可由关于a的 方程 () 33 3 8 44 0 4 aa a + = 得到其中一个解是 3 4 a = ，另一解可由 1 12 3 2 3 33 84 404 2 4 0 aa a a + = + = 3 4 a = 或 3 2 4 3.
9、174802 a = （如图 3）得到。结合图像我们发现， 3 a 的确只是命题中的“方程 () () fxfa = 有三个实数解” 的一个充分条件， 而充要条件应为 “ 3 () (4 ) fa f ” 亦即 “ 0 a 且 3 4 a 或 3 24 a 时，方程 () () fxfa = 只有当 3 4 a = 时出现重根 3 4 x = ，此外必有三个不同的实数解。 在解决了这番疑问之后，我不禁有两点体会： 第一是感到这次探究归功于图形计算器的应用给我带来的启发。 尽管上海的高考暂不允 许使用图形计算器，不论是函数型计算器还是图形计算器，数学问题的解决关键还是需要着 眼于能否选择正确有效
10、的解题策略。在技术的支持下，我们获得的是更多发现问题的契机。 就以这道高考题而言，无论是应用“函数与方程”的思想还是“数形结合”的思想，思维的 4 核心作用并不会因计算器的出现而被削弱， 尽管也许使用图形计算器会产生解答细节或评分 标准上的差别，但本题的能力考查目标依然能够实现。 另外，一个好的数学问题背后往往蕴含着广阔的思维空间，中学数学的课程改革提倡让 学生在学习中经历数学探究的过程、领悟数学的思想方法。作为一个数学教师，在高考题研 究过程中，如果都能少花一份精力去设计模拟训练题，多花些精力去引导学生与我们一同体 验数学思维的乐趣。那么，无论是我们自己还是我们的学生，恐怕都会更快乐些吧。
