三角形相似与位似

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1、- 1 - 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如ABC与A / B / C / 相似，记作: ABCA / B / C /。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置， 这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若ABC A / B / C / ，相似比为k，则A / B / C / 与ABC的相似比是 1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似

2、比为 1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似 比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比 例. 已知 l1l2l3, A D l1B E l2C F l3可得 等. EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB 或 或 或 或 （2）推论:

3、平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应 线段成比例. AD E- 2 -B C 由 DEBC 可得： .此推论较原定理应 AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD 或 或 用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的 三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应

4、相等，那么 这两个三角形相似。 点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。 注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐 含的相等的角，我们应注意公共角的运用。 知识点5、两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别 两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS” 知识点6、三边对应成比例的两个三角形相似。 这种方法和前两种方法一样是判定两个三角形相似的另一种方法，这种方法利 用了三角形的三边，而没有用到角，这种方法类似于三角形全等的条件 “SSS” 补充：相似三角形

5、的识别方法 (1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。 (2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所 构成的三角形与原三角形相似。 注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。 (4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5)两角对应相等的两个三角形相似。 (6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 A B C D E A B C D E- 3 - 知识点 7 相似三角形的应用 书 p48 例题 3,4,5

6、 知识点 8 相似三角形的周长与面积 相似三角形周长比等于相似比（多边形） ；面积比等于相似比的平方（多边形） ； 对应高的比等于相似比； 27. 3 位似 1观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特 征？ 2问：已知：如图，多边形 ABCDE，把它 放大为原来的 2倍，即新图与原图的相似比 为 2应该怎样做？你能说出画相似图形的一 种方法吗？ （1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这 样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 （2）掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两

7、个图形 是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；两个位似图形的位似 中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似 （3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质位似图形是一种特 殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等 于位似比（相似比） （4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心 的对应线段平行 （5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题作图时要注意: 首先确定位似中心，位似中心的位置可随意

8、选择；确定原图形的关键点，如四边形有- 4 - 四个关键点，即它的四个顶点；确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个 图形放大还是缩小；符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的 位置有关（如例2） ，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的 图2与图3） 五、例题讲解 例 1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形， 请指出其位似中心分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首 先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不 可解：图（1） 、 （2）和（4）三个图形中

9、的两个图形都是位似图 形，位似中心分别是图（1）中的点 A ，图（2）中的点 P 和图 （4）中的点 O （图（3）中的点 O 不是对应点连线的交点，故图 （3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）例 2（教材 P61 例题）把图 1中的四边形 ABCD 缩小到原来的 2 1分析：把原图形缩小到原来的 ，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原 2 1 图形各对应顶点到位似中心的距离之比为 12 作法一：（1）在四边形 ABCD 外任取一点 O； （2）过点 O 分别作射线 OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 A、B、C、D，- 5 - 使得 ； 2

10、 1 OD D O OC C O OB B O OA A O （4）顺次连接 AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形 ABCD，如图 2 问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（1）在四边形 ABCD 外任取一点 O； （2）过点 O 分别作射线 OA， OB， OC，OD； （3）分别在射线 OA， OB， OC， OD 的反向延长线上取点 A、B、C、D， 使得 ； 2 1 OD D O OC C O OB B O OA A O （4）顺次连接 AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形 ABCD，如图 3 作法三：（1）在四边形 ABCD 内任取一点 O； （2）过点 O 分别作射

11、线 OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 A、B、C、D， 使得 ； 2 1 OD D O OC C O OB B O OA A O （4）顺次连接 AB、BC、CD、DA，得到所要画的四边形 ABCD，如图 4 （当点 O 在四边形 ABCD 的一条边上或在四边形 ABCD 的一个顶点上时，作法略 可以让学生自己完成） 六、课堂练习 1教材 P611、2 2画出所给图中的位似中心 1把右图中的五边形 ABCDE 扩大到原来的 2倍 七、课后练习- 6 - 1教材 P651、2、4 2已知：如图，ABC，画ABC， 使ABCABC，且使相似比为 1.5，要

12、求 （1）位似中心在ABC 的外部； （2）位似中心在ABC 的内部； （3）位似中心在ABC 的一条边上； （4）以点 C 为位似中心 在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位 似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的如：已知：ABC三个 顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将ABC放大， 根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A的坐标为（12，32），即A（2，6）， 或点A的对应点A的坐标为（1(-2)，3(-2)），即A（-2，-6）类似地，可以确定其 他顶点的坐标 四、课堂引入 1如

13、图，ABC 三个顶点坐标分别为 A(2,3)，B(2,1)，C(6,2). （1）将ABC 向左平移三个单位得到A 1 B 1 C 1 ，写出 A 1 、B 1 、C 1 三点的坐标； （2）写出ABC 关于 x轴对称的A 2 B 2 C 2 三个顶点 A 2 、B 2 、C 2 的坐标； （3）将ABC 绕点 O 旋转 180得到A 3 B 3 C 3 ，写出 A 3 、B 3 、C 3 三点的坐标 2在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、 轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位 似）也可以用图形坐标的变化来表示 3探

14、究： （1）如图，在平面直角坐标系中，有两点 A(6,3)，B(6,0)以原点 O 为位似中心，相 似比为 ，把线段 AB 缩小观察对应点之间坐标的变化， 3 1 你有什么发现？ （2）如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A(2,3)，B(2,1)， C(6,2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将ABC 放大， 观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在 平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，- 7 - 相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k 五、例题讲解 例 1（教材 P63 的例题） 分析：略（见教材 P63 的

15、例题分析） 解：略（见教材 P63 的例题解答） 问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！ 解法二：点A的对应点A的坐标为（-6 ，6 ），即A（3，-3）类似地， ) 2 1 ( ) 2 1 ( 可以确定其他顶点的坐标（具体解法与作图略） 例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变 换吗？分析：观察的角度不同，答案就不同如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转 45角， 连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是 4321的位似图形， 解：答案不惟一，略 六、课堂练习 1教材 P641、2 2ABO 的定点坐标分别为 A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)， 试将ABO 放大为EFO，使EFO 与ABO 的相 似比为 2.51，求点 E 和点 F 的坐标 3如图，AOB 缩小后得到COD，观察变化前后的 三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比 和面