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1、以圆为基架的综合题例析 第 1 页（共 4 页） 第 2 页 （共 4 页） 圆有关的综合题例析赵化中学 郑宗平 以圆为基本框架的综合题是历年来中考的一种常见题型，它容易把几何知识或代数知识 形成几何综合题或或几何代数综合题. 以圆为基本框架的综合题的题型结构一般是由与圆有关的点和线段构造直线型，再以圆 的性质为基础，结合特殊直线型（直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形菱形等）的性质， 以全等、相似、三角函数等牵线搭桥形成综合题，这种综合题常常证明中包含计算，计算中包 含证明又包含着多种数学思想方法；在解答时应注意以下几个方面： 、把复杂的图形分割成基本图形进行思考，并适当添加辅助线补全构造
2、基本图形，如 直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等，从而把已知和未知建立联系. 、掌握常规的与圆有关问题的证明方法与技巧，如：证角相等、证线段相等、证线段 垂直等；掌握与圆有关的直线型的特殊性质与计算公式，对于双圆问题要注意公共弦和连心线. 、注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把 证明问题转化为方程计算问题.例1、如图已知，ABC内接于O，AD是O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上， EF交O于M、N,交AD于点H，H是OD的中点， ,设 , MD DN EH HF 2 ,EH和HF是方程 的两个实数根. , tan 3 ACB 4 2
3、x k 2 x 4k 0 、求EH和HF的长； 、求BC得长. 破题分析: 、考虑到方程中的“”判别式、根的关系、EH与HF的差 为2，可以建立联立关系式；即 ，易求出k=12,所以求得 0 EH HF k 2 0 EH HF 4k 0 EH HF 2 V , ; EH 8 HF 6 、考虑到直径上圆周角等于90，连结BD，由垂径定理知ADEF，所以 ;设AB=3m,则BD=4m，AD=5m，通过RtAEH得：AH=6，而H为OD的中 tan tan 3 AB E 4 BD 点， 所以AD=8， ，所以 ,易证ABCAFE,所以 , 3 AH AD 4 , 8 AD 5m 8 m 5 24 A
4、B 5 , . BC AB 28 BC 2 EF AF 5 点评：当与二次方程综合时，联系到二次方程“”判别式、根系关系等知识综运用，正 确建立含k的联立关系式，很容易求解；当与Rt综合时，联系到解Rt的边角关系，勾 股定理等，也就不难求解，可见综合题要善于各个击破是很重要的。 例2、如右图，以等腰ABC的一腰AB为直径的O交BC于D，过D 作DEAC于E. 试证：DE是O的切线 问： 、若点O在AB上向B移动，以O为圆心，以OB为半径的圆仍交BC于 D，DEAC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由；、如果AB=AC=5cm， ，那么圆心O在AB上什么位置时，O与AC相 3 si n
5、 5 A = 切？ 破题分析: 证明切线的思路一般情况下有两条，其一、若直线与圆有明确的 交点则“连半径，证垂直，得切线 ” ； 其二、若直线与圆无明确的交 点则“作垂直，证相等，得切线 ” ；本题应采用第一条思路，当连结O -D后（见图） ，利用同圆的半径相等而构成的等腰三角形为桥梁，容 易得出ODAC，再利用“两直线平行，同位角相等”后可以进一步得出 ODDE，使本问得以解决。 、本问有两种情况，一种情况是点O在AB上沿点A移动（见图） ； 另一种情况是点O在AB上沿点B移动（见图） ；上述结论仍然成立， 其证明思路和前面的一样。、本问的切入点是 ，一般通常考虑化归在直角三角形中来 3 s
6、i n 5 A = 转换，很容易联想到通过切线得到垂直关系，从而构建直角三角形；若O 与AC相切于F（见图） ，连结OF后可以把 放在RtOFA来考 3 si n 5 A = 虑，在RtOFA中 ,设 则 ，利用勾股定理 3 si n 5 O F A O A = = , AF 3x = OA 5x 得出 通过 ;再利用 从而使问题得以解决。 , oF 4x OB OF 4x AB OB OA 4x 5x 5 点评：本题证明切线的过程中，当把“连半径，证垂直，得切线 ”切入点后，圆的基本性 质中的“同圆或等圆的半径相等”构建的等腰三角形起了关键的桥梁作用，这是在圆为基架的 题解答过程中常用的；本
7、题的问当把构建含A的直角三角形作为切入后，很容易联想到通 过切线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理来构建直角三角形，由于问是求圆心O在AB 上什么位置时，O与AC相切？所以利用切线的性质构建直角三角形会水到渠成，当然也可以 A E F D O B M N H C A O D B C E O C A D B E A O B D C E A O B C E F D 以圆为基架的综合题例析 第 3 页（共 4 页） 第 4 页 （共 4 页） 通过转换角的办法解决问题（课外测评二46题就是这样比较典型的题） ；本题另一值得总结的 是方程思想，与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程计算问题
8、，是圆为基架 的综合题中常用的思想方法. 1、如图，已知O的直径垂直于弦CD于E，连结AD、BD、 OC、OD,且OD=5. 、若 ，求CD的长？ 3 5 Sin BAD = 、若ADO: EDO=4：1.求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留） 。 2、已知，如图直线 与 轴、 轴分别交于A、B两点，M经过原点O及A、B 3 y x 3 3 x y 两点. 、求以OA、OB两线段为根的一元二次方程； 、C是M上一点，连结BC交OA于点D，若COD=CBO， 写出经过0、C、A三点的二次函数解析式； 、若延长BC到E,使DE=2，连结EA，试判断直线EA与M的 位置关系，并说明理由。 1、弦
9、AB直径CD于F，EAEC.、求证： 2 AC AE AB 、延长EC到P，使PBPE,试判断PB与O的位置关 系，并说明理由. 2、ABC分别切O于点E、F、G，C=90，AO的延长 线交BC于D，若AC=4，CD=2， 求：、求O的半径； 、AB、BC的长？ 3、如图，O的直径AB=12cm,AM、BN是O的切线，DC切O 于E，交AM于D，交BN于C,设BN于C，设AD=x,BC=y. 、求y与x的函数关系式； 、若x、y是方程 的两 2 2 30 0 t t m 个实数根，求x、y的值； 、求COD的面积。 4、已知O 1 与O 2 相交于A、B两点，且O 2 在O 1 上。 （）如图
10、一，AD是O 2 的直径， 连结DB并延长交O 1 于C，求证：CO 2 AD; （） 、AD是O 2 的一条弦，连结DB并延长交 于O 1 D点C,这时CO 2 所在直线是否仍与AD垂直？请证明你的结论。 5、如图，ABC是圆内接正三角形，P为劣弧 上一点， BC 已知 . 2 7, 6 AB PA （） 、求证：PB+PCPA; （） 、求PB、PC的长？（PBPC）. 6、如图，O是ABC的边BA上一点，以O为圆心的圆与角的另一边BC相切于点D，交BO于 点E、F，F是OA上一点是OA上的一点，过F作FGAB，交BC于点G， ，设 ，四边形的面积为y. ,sin 1 BD 2 3 ABC 2 OF x 、求与 与 的函数关系式； y x 、在平面直角坐标系内画出这个函数的大致图象； 、这个函数的图象与经过 的正比列函数的 , 3 1 6 图象有无交点？若有交点，求出交点的坐标；若无交 点，试说明理由。 E A M B O C D y x A O C D E B A D O F C P B EE O B A G C D A B O D C M N 图一 B A 1 O 2 O D C 图二 D C A 1 O 2 O B B A P O C A F G D E B O C
