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1、对 两角差的余弦公式 推导的思索 315175 同 济 中 学 徐 峰 数学概念、公式是自然的，不是强加于人。知识背景、形式过程，应该是合情推理、水到渠成的。学 习贵于疑，而问题是数学学习的“心脏” 。通过创设问题情境，引入需要学习的内容，然后引导学生自己 发现问题，提出问题，思考问题，经历实践动手，自主学习，主动探索，不断地从具体到抽象，从特殊到 一般，形成批判性的理性思维和严谨的科学态度。 首先通过章头图实际问题的引入，又作恰当的数据改变，起点要低，要浅，让学生感受到研究两角差 的余弦公式的必要，通过求 的特殊问题，引起学生学习兴趣。学生能轻易地解决，然后作相应的 o 15 cos 推广，
2、引发知识矛盾冲突，同时明确探究目标。推导过程分四个层次：一是直觉精神，主要通过计算猜想， 两角差余弦公式，特殊验证，作出初步决策。二要适当的点拨推广，在 为锐角的情形下，在初 , , 中平面几何知识内的探究。要贴近学生实际知识水平，从头至尾要反思探索过程，让学生回忆高中数学知 识中的三角函数定义及单位圆上的三角函数线来研究问题，这样从多种途径对两角差的余弦公式的推 导，有助于学生理解公式，加强数学内容之间的联系，增加学生利用已学过的知识来解决实际问题的机会， 只是上面的推导过程比较繁难，而且都在特殊情况下进行。三是对一般情形探究，主要是应用三角函数定 义，向量的数量积的知识来推导，让学生体会运
3、用向量工具进行探索，过程多么简洁，从而进一步深化向 量的丰富知识背景。认识它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，运用向量解决问题可以发展自身的 推理能力和运算能力，然后让学生发现推导过程不严谨之处，请学生补充完善。四是对探究过程的反思升 华，应用三角函数定义及两点间距离公式推导公式。这样教学过程符合数学研究问题的规律。使学生感受 到学习探究过程中是不断猜想，不断矫正，从特殊到一般的思考过程。 一、 展示实例，创设情境素材 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图 1所示，在地平面上有一点 A，测得 A、C 两点间 的距离为 a 米，从 A 观测电视发射塔的视角（ ）约为 ， ，求AD 的
4、长度， CAD o 30 o 45 DAB 的值？（由学生作答） o 15 cos解：作 CE AD 交 AD 于 E，在 Rt 中，CE= ，AE= ，在 ACE 2 a a 2 3 Rt 中， ，ED= ，从而计算出 ECD o 45 EDC 2 a AD= ， a 2 1 3 在 Rt 中，AB= = ，在 Rt 中， ABD 2 AD a 4 2 6 ACB 30 o45 o_ E _ D _ C _ B _ A 图 1cos15 = = 。 o AC AB 4 2 6 二、 问题悬念，激发知识矛盾 你认为 cos15 = cos（45 30 ）= cos45 cos30 正确吗？学生
5、答出 o o o o o cos45 = ，sin45 = ,cos30 = ，sin30 = 。经验证显然不成立。 o 2 2 o 2 2 o 2 3 o 2 1 学生会猜想出 cos15 = cos（45 30 ）= cos45 cos30 + sin45 sin30 o o o o o o o 或 sin45 cos30 + cos45 sin30 ，这样引发困惑，激起决策欲望。通过特殊验证，让学生计算 cos10 = o o o o o cos（30 20 ）= cos30 cos20 + sin30 sin20 ，还是 sin30 cos20 + cos30 sin20 ，作出初步选
6、 o o o o o o o o o o 择，学生学习发现计算可猜想出初步结论，培养直觉的数学观察能力。教师也可以通过几何画板来直 觉猜想，作相应的点拨推广：当 45 改为 ，30 改为 时，cos（ ）= cos cos + sin o o sin ，对任意的 ， 是否成立？抛出问题，激发探索的欲望。要提醒学生我们先从 均为锐 , , 角情形下来推导，验证。我们仍用图 1来解决问题，所用知识只是初中平面几何知识和三角函数定义。 解：Rt 中，cos（ ）= ，令 AC=a=1，此时，cos（ ABC AC AB ）=AB，在 Rt 中，cos = ，sin = ，在 Rt ABD AD AB
7、 AD DB 中，cos =AE，sin =CE，在 Rt 中， =tan ，从 ACE ECD EC ED 而发现等量关系：cos（ ）=AB= cos AD= cos （AE+ED） ， AE+ED= cos +ED= cos +EC tan = cos + sin tan ，cos（ ）= cos （cos + sin tan ）= cos cos + sin sin 这样处理，放低了知识要求，学生容易推导，激发推导欲望。 三、展开联想，回归定义引申 由于涉及的是三角函数问题，学生会考虑回到基础定义，可用单位圆上的三角函数线来推导，教师要 利用多媒体，积极引导学生经历作角找线找探求过程中
8、的等量关系。方法 1是教材中已有（从略） ，关键在于罗列已有条件，利用几何直观寻找 OM 的表达式。但有学生不是利用图 3作角的方法，于是有 图 4所示。 解：作 ， ， AOx BOx ，AC OB 于 C，连 AOB AB，A（cos ，sin ） ，B（cos ，sin ） ，则 cos（ ）=OC，AC=sin（ ） ，在 Rt _ E _ C _ B _ A _ D 图 2_ B _ M _ X _ Y P 图 3中，AC= sin（ ） ， ABC CB=1-cos（ ） ，又因为 AC +BC =AB 2 2 2 所以sin（ ） +1cos（ ） 2 2 = cos cos +
9、 sin sin 2 2 从而得到： cos（ ）= cos cos + sin sin 四、 多种途径，运用向量推导 以上推导过程都是在 都是锐角，且 的情况下得到，而且推导过程和推广工作非 , , 常艰难，学生在第二章已学习向量是解决几何问题的有力工具，有着极其丰富的实际背景。我们可通过提 出问题暗示，从合情推理过渡到逻辑推理。在第二章向量中用什么知识可求 cos 的值？这种开放性提问 暗示，学生的眼光会发出色彩，开拓了学生思维的空间。人教版已有，这里从略。在探索过程中，我们不 必追求一步到位，先不理会其中的细节，抓住线索，明确目标进行探索，然后再反思在哪些方面需要完善， 体现了数学发现的
10、一般方法。一方面引导学生朝着正确的目标前进，体会向量方法的作用；另一方面，采 用设问的方式，关注学生思维的漏洞，帮助学生完善。通过多种途径思考，培养学生的自主探究能力，对 向量的坐标表示以及向量数量积运算有了进一步的理解。同时，推导过程的补充完善，对形成严谨的数学 思维品质有益处。事实上，在几何画板中对角 移动，可推出 来补充完善。 ) ( , 2 z k OB OA k 五、 反思过程，提炼解题方法 有学生对图 4作稍微改变，有了最精华的推导方法，图 5所示解：作 ， ， AOx BOx AOB作 ， C（1，0） DOx 利用相等圆心角所对弦长相等， 所以 AB=CD cos cos +
11、sin sin 2 2 图 5= sin（ ） +1cos（ ） 2 2 cos（ ）= cos cos + sin sin 这时，对任意的角 都成立。 , 在反思以上学生的推导过程，提炼出如此经典的方法，真是“柳暗花明又一村” ，我用赞赏的眼光大 A B O Y X A B O Y X D 图 5 C 图 4胆地表扬了学生。学生在“试一试” 、 “猜一猜” 、 “证一证” 、 “用一用”过程中，体会到向量是好东西，也 体现了数学的科学性与艺术性是相结合的。在忠于教材，又不拘泥于教材的处理过程中，通过合作学习， 合理探索，互动交流，学生的学习是舒适的。在发掘、归纳、不断提升，增厚了学生的学习兴
12、趣。培养了 学生的理性精神和严谨科学态度。在运用多种途径解决问题过程中，发散学生的思维，提高处理问题的能 力，有助于理解公式，深化加强数学文化的修养。在对知识探索的过程中，在学习的实践中，学生有所感 悟、有所体验、有所提高，同时感受、理解知识产生和发展的过程，形成了数学的科学精神和创新思维的 习惯。从学生已有知识、经验、方法出发，在教师引导下提出解决问题的门径，引导学生“自得”，激发了 学生的探究精神和主动参与到学习活动中来。 我思：通过以上四个层次的推导过程，是符合学生认识规律，贴近学生实际知识水平，同时学生感受 到学习过程中不断猜想，不断否定，不断修正，从特殊到一般的思维过程，体现了探究过
13、程中“大胆设想， 小心求证” 。好像是在建设青藏铁路，体会了获取知识的艰难和喜悦，在冰山雪地中寻找美丽的雪莲花， 经历了登山的乐趣。发现数学是严谨的，数学是美丽的，数学能提高我们学习的能力，数学是有趣的，数 学是有用的。学生会投入更大的热情来学习数学。 我想这样的设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是快乐的，研究问题是从特殊到一般的思维过 程。通过探究和证明不但培养学生的逻辑推理能力，而且培养学生创新能力及优异的数学思维品质。又体 现了“大胆猜想，小心求证”的教学思想，使学习过程变成火热的思考过程。研究数学题像是在寻求“空 谷中的幽兰，高寒中的杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，绝顶上的灵芝，
14、抽象思维的牡丹。 ”从落实 知识为出发点，培养学生能力为归宿点的教学设计过程中，确定目标，分析任务，同时了解学生的实际知 识水平，作些必要的搭桥设计活动，是符合学生认知的心理特征的。从困惑中展开联想，从一题多解激发 学生的发散思维，从“犹抱琵琶半遮面” ，到“千呼万唤始出来”过程中，弹奏出推导方法的多样性。学 生会自觉投入到探索数学问题中来。 在“算一算” 、 “试一试” 、 “猜一猜” 、 “证一证”的过程中，不拘泥于教材，又忠于教材的处理是体现 数学学习的科学性和艺术性相统一。在对传统教学的反思，对新课程的理念的思考，对教材的分析的基础 上，通过合作学习，合理探索，师生互动的教学过程中，能提高学生的数学应用意识和创新意识，从而提 高学习数学的兴趣，逐步认识数学的应用价值和文化价值。在以教学内容为知识载体，以教学目标为灵魂 出发点的探索过程，通过一题多解，纵向联系，多种途径推导，聚沙成塔，日积月累，能拓展学生的数学 视野，形成严谨的思维品质和锲而不舍的科学精神。 我思：高中数学的公式课很重要。重点要放在探索过程中，可以分成五个步骤： 创设问题情形，激发学习欲望。注重公式如何发现，要贴近学生实际水平，要前后呼应。 1 培养学生的猜想能力，呼唤公式的出现。这个过程是自然的，学生听起来是舒适的。 2 深化加强理性认识。对有不严
