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1、2004年普通高等学校招生考试数 学（理工农医类） （重庆卷） 20 （本小题满分12分） 设函数 ( ) ( 1)( ),( 1) f x x x x a a (1) 求导数 ; 并证明 有两个不同的极值点 ; / ( ) f x ( ) f x 1 2 , x x (2) 若不等式 成立，求 的取值范围。 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x a 2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 12曲线 处的切线与 x轴、直线 所围成 ) 0 )( , ( 3 3 a a a x y 在点 a x 的三角形的面积为 = . a 则 , 6 1 解： =3x
2、 2 ,在(a,a 3 )处切线为 y-a 3 =3a 2 (x-a),令 y=0,得切线与 x轴交点 y ( ),切线与直线 x=a 交于(a,a 3 ),曲线 2 ,0 3 a 处的切线与 x轴、直线 所围成的三 ) 0 )( , ( 3 3 a a a x y 在点 a x 角形的面积为 S= ,令 S= ,解得 a=1. 4 4 1 1 1 2 3 6 a a a 1 6 19 （本小题满分 13分） 已知 ，讨论函数 的极值点的个数. R a ) 1 ( ) ( 2 a ax x e x f x 19 （本小题 13分） . 0 ) 1 2 ( ) 2 ( 0 ) ( ), 1 2
3、( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( : 2 2 2 a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x x x 得 令 解（1）当 . 0 ) 4 ( 4 ) 1 2 ( 4 ) 2 ( 2 2 a a a a a a : ), )( ( ) ( , , , 0 ) 1 2 ( ) 2 ( , 4 0 2 1 2 1 2 1 2 从而有下表 于是 不妨设 有两个不同的实根 方程 时 或 即 x x x x e x f x x x x a x a x a a x x ) , ( 1 x x 1 ) , ( 2 1 x x 2 x ) , ( 2 x
4、) (x f + 0 0 + ) (x f 为 ) ( 1 x f 极大值 为 ) ( 2 x f 极小值 即此时 有两个极值点. ) (x f （2）当 有两个相 0 ) 1 2 ( ) 2 ( , 4 0 0 2 a x a x a a 方程 时 或 即 同的实根 2 1 x x 于是 2 1 ) ( ) ( x x e x f x 无极值. ) ( , 0 ) ( , ; 0 ) ( , 2 1 x f x f x x x f x x 因此 时 当 时 故当 （3） , 0 ) 1 2 ( ) 2 ( , 4 0 , 0 2 a x a x a 时 即 当 为增函数，此时 ) ( , 0
5、 ) 1 2 ( ) 2 ( ) ( 2 x f a x a x e x f x 故 无极值. ) (x f 因此当 ， 4 0 , ( ) 2 a a f x 或时有个极值点 无极值点. 0 4 , ( ) a f x 当时 2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类） 12曲线 在点（1，1）处的切线与 x轴、直线 所围成的三角 3 x y 2 x 形的面积为 . 解： =3x 2 , y 在(1,1)处切线为 y-1=3(x-1), 令 y=0,得切线与 x轴交点( ),切线与直线 x=2 交于(2,4), 2 ,0 3 曲线 处的切线与 x轴、直线 所围成的三角
6、形 3 (1,1) y x 在点 2 x 的面积为 S= . 1 4 16 8 4 2 3 6 3 19 （本小题满分 13分） 设函数 R. a ax x a x x f 其中 , 8 6 ) 1 ( 3 2 ) ( 2 3（1）若 处取得极值，求常数 a的值； 3 ) ( x x f 在（2）若 上为增函数，求 a的取值范围. ) 0 , ( ) ( 在 x f 19 （本小题 13分） 解：（） ). 1 )( ( 6 6 ) 1 ( 6 6 ) ( 2 x a x a x a x x f 因 取得极值， 所以 解 3 ) ( x x f 在 . 0 ) 1 3 )( 3 ( 6 ) 3
7、 ( a f 得 . 3 a 经检验知当 为极值点. ) ( 3 , 3 x f x a 为 时 （）令 . 1 , 0 ) 1 )( ( 6 ) ( 2 1 x a x x a x x f 得 当 和 ) , ( ) ( , 0 ) ( ), , 1 ( ) , ( , 1 a x f x f a x a 在 所以 则 若 时 U 上为增函数，故当 上为增函数. ) , 1 ( ) 0 , ( ) ( , 1 0 在 时 x f a当 ， 1 a 时 ( ,1) ( , ), ( ) 0, x a f x U 若则 上为增函数， ( ) ( ,1) ( , ) f x a 所以在和 从而 上
8、也为增函数. 0 , ( ) ( 在 x f 综上所述，当 上为增函数. ) 0 , ( ) ( , ) , 0 在 时 x f a 已知区间 M 是 的单调区间，求参数的取值 ( ) f x 范围： 方法一： 1、求 ( ) f x 2、解 0（ 0)在 x = c bx x ax x f 4 4 ln ) ( 1处取得极值3c，其中 a,b,c 为常数。 （1）试确定 a,b 的值；(6 分) （2）讨论函数 f(x)的单调区间；(4 分) （3）若对任意 x0，不等式 恒成立，求 c 的取值范围。(3 2 2 ) ( c x f 分) 解：（I）由题意知 ，因此 ，从而 (1) 3 f
9、c 3 b c c 3 b 又对 求导得 ( ) f x 3 4 3 1 ( ) 4 ln 4 f x ax x ax bx x g 3 (4 ln 4 ) x a x a b 由题意 ，因此 ，解得 (1) 0 f 4 0 a b 12 a （II）由（I）知 （ ） ， 3 ( ) 48 ln f x x x 0 x 令 ，解得 ( ) 0 f x 1 x 当 时， ，此时 为减函数； 0 1 x ( ) 0 f x ( ) f x 当 时， ，此时 为增函数 1 x ( ) 0 f x ( ) f x 因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间 ( ) f x (0 1) ， ( )
10、f x 为 (1 ) ， （III）由（II）知， 在 处取得极小值 ，此极小 ( ) f x 1 x (1) 3 f c 值也是最小值， 要使 （ ）恒成立，只需 2 ( ) 2 f x c 0 x 2 3 2 c c 即 ，从而 ，解得 或 2 2 3 0 c c (2 3)( 1) 0 c c 3 2 c 1 c 所以 的取值范围为 c 3 ( 1 2 U ， 2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 20 （本小题满分 12分） 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与 宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最 大体积是多少？ 解：设长方体的宽为 x（m） ，则长为 2x(m)，高为
