几何光学的基本定律

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1、第一 节 几何 光学 的基 本定律 1、当半径为 r 的不透明圆盘被照亮时，在其 后 l 处的屏上，得到半径为 1 r 的全影和半径为 的半影。 光 源也是圆盘形的而且由其中心到不透明圆盘中心的 2 r 连线垂且两圆盘和屏面，求光源的尺寸和光源矩被照亮圆盘的距离。 解：距离 ，光源半径 r r r r l x 2 2 2 1 + = r r r r r r y 2 ) ( 2 1 1 2 + = 2、 太阳光球的直径等于 1390000 千米，太阳与地球之间的距离变化不大， 平均为 150 000 000 千米， 月 球中心到地球表面的距离在 357000 至 390000 千米 之间变动。若

2、月球直径为 3480 千米，那么何时能有日全蚀？何时能有日环蚀? 解：当月球中心到地球表面的距离小于 376000 千米时常发生日全蚀，当 距离大于此值时，常发生日环蚀。 3、 由光源发出的光通过孔之后， 在 孔后的屏上成象： 试 解释为什么当孔小 时，成光源的象，而孔大时却成孔的象。 解：(略) 4、 太阳光照射到不大的正方形平面镜上， 反 射后又照射到屏上， 屏 上照亮 的部分是什么形状?它将如何随着平面镜和屏之间的距离的改变而改变？ 解： 若 屏离镜面近， 则 被照亮的部分为四边形， 着 屏离镜面远则太阳成椭圆 形的象。 5、 在竖直的正方形金属网前放一水平的长狭缝。用强的扩展光源照亮狭

3、 缝， 光 通过缝和网射到远处屏上， 试 描述在屏上得到什么样的图象， 当 继绕网平 面的垂线旋转 90 度和 45 度时，将发生什么现象?研究如图 l-a 和图 1-b 所示的 图。解：屏上得到水平的 明、暗条 纹系。 将缝旋 转 90 度时，条纹变成竖直 的。 将其转 45 度时，在图 la 所示格子的情况下，条纹消失，如图 1b 所示格子的情 况下， 呈 现与水平成 45 度角的条纹。 在 后一种情况下， 条 纹间距是水平(或竖直) 条纹的间距的 分之一。在所有情况下，条纹皆与缝平行。 2 6、 上题中，若交换缝和网的位置，屏上图形将发生什么变化？ 解：图像的特性不变，然而条纹已经变得不

4、很多了。 7、 两平面镜彼此倾斜， 形 成二面角。 光 线在垂直于角棱的平面内射到镜 上。 证 明： 经 两平面镜反射后的光线对原来方向的偏角与入射角无关。 并 求 。 解： 。若计算角 和 时，按着下面的规则：设光首先由第一个镜 2 = 子反射，然后再由第二个镜子反射，则这个公式对所有情况都是适用的。此时， 应将 理解为使第一个镜子与第二个镜子重合所应转动的角度。 类 似地， 是这 样确定的， 即 为使光线原来的方向与由第二个镜子所反射的光线重合所需转动的 角度。转动的方向是任意的，但在两种情况下，转动方向应相同(例如顺时针或 逆时针)，在求解其他题目时所进行的类似分析中，都应当注意这个原则

5、。 8、 试以矢量形式写出： 在 两种各向同性的透明介质的交界面上光的反射定律和折射定律： 光 从折射率为 的介质 l 射向折射率为 的介质 2， 入 射、 反射 1 n 2 n 和折射光的方向以单位矢量 、 和 表示； 界面法向单位矢量打的方向从介质 0 r 1 r 2 r 2 指向介质 1。 解： N N r r r ) ( 2 0 0 1 = 。 ) ( ) ( 2 0 2 1 2 1 2 2 0 1 0 1 2 2 N r n n n N r n N r n r n + + = 9、 试证明：经三个相互垂直的平面镜依次反射后的光与原来方向相反。 解：设 分别为三个镜平面的法线单位矢量；

6、 为第一个镜上入 3 2 1 N N N 、 、 0 r 射光的单位矢量； 是分别由第一、 第 二和第三个镜子反射后光线的单位 3 2 1 r r r 、 、 矢量。于是 3 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 0 0 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 N N r r r N N r r r N N r r r = = = 由此，容易得到 。 0 3 r r = 10、 将 表面镀银的玻璃立方体切下一角， 得 到三棱锥镜。 光 线从锥底面射入 ， 经其余三个互相垂直的平面依次反射。证明：出射光与入射光方向相反。 解：(略) 11、两平面镜成 60 度角，求镜间物体所有的象。作出光

7、的行程图：使光经 两平面镜相继两次反射后，给出物体的一个象。 解：(略) 12、两平面镜成 角，并没 为整数，求镜间物体象的数目。 / 2 = m 解： 解点状物体 O 的位置可用矢径 镜 1 平面所成的角 给出， 或者用 同 C O 一矢径与镜表面 2 所成的角 来确定(图 72)。 设 和 表明物体 O 的位置。 容 0 0 易看出，对于象 02，012，0212，01212，角 有下列值； 0 0 0 0 4 4 2 2 ， ， ， = 这个系列在镜 1 平面后边第一次出现象时中断， 因 为在这种情况下， 该 象的 光线已经不能从平面镜 1 再反射了。 类似地，象 01，021，0121

8、，0212l，的位置由角 确定： 0 0 0 0 4 , 4 , 2 , 2 + + = 并且系列在镜 2 平面后边第一次出现象时中断。 下 面用两个例子来说明这个 解： 例 1、 m 5（ ） ， 。对于上一列 0 72 5 / 2 弧度 = ) 50 ( 22 0 0 0 0 = = 象 ， 有 对 于 下 一 列 ， 。 角 ; 266 , 166 , 122 0 0 0 = 0 0 194 , 94 = 的关系为： ，或者在所研 究的 情况下 为： 和 + = 2 。借助于这个关系式得到 。因此，在 = 0 432 238 , 338 0 = 上一列和下一列中无重复的象，全部象共 5

9、个。 例 2、 m 6 （ ） ， 。 对 于 上 一 列 象 ： 0 60 = ) 40 ( 20 0 0 0 = = ； 对 于 下 一 列 象 ： 0 0 0 220 , 140 , 100 = ) 220 ( 200 , 160 , 80 0 0 0 0 = = 最后一个象在两例中重复，因此，全部象共是 5 个。 一般的，若 m 为奇数，则象的数目等于 m，若 m 是偶数，则象的数目等于 m 1。对于 m 不是整数的情况，上述方法也是有用的13、 在图 2 所示的折射棱镜中， 光 线在垂直于镜棱的平面内， 内 AD 面射入 ， 依次经由 BC 和 BD 面反射， 然 后从 AC 面 射

10、 出 。 角 B 和角 A 分别等于和 2， 而 角 C 和角 D 彼此相等。 试 证明： 出 射光对原来方向的偏角与入射角无关， 求， 并说明在如图所示的光的行程下，棱镜能否形成光谱分解? 解： 若 把从棱镜射出的光线用消色差透镜会聚， 则 不能形成光谱分解。 但 若 出射的光线直接射到屏上。则能得到有彩色边圈的白斑； 2 = 14、试解释：为汁么在 月夜海面 上看到 的月亮的 象不是 个圆盘而是一条带？ 解：略 15、 如图 1 所示， 一 平面镜置于充满水的容器的底部， 人 俯视地对着平面 镜看自己的象。 设 眼睛高出水面 ， 而 镜子在水面之下深 处。 c m h 10 1 = c m

11、 h 5 . 66 2 = 试求眼睛在镜中看起来与眼睛的距离。已知水的折射率为 43。 解：人眼观察水底的平面镜离开自己的距离为 n h h h h h 2 1 2 1 0 + = + = 将 ， ， 代入上式，得 c m h 10 1 = c m h 5 . 66 2 = 3 / 4 = n c m h 60 4 5 . 66 3 10 0 = + = 故 c m 120 h 2 h 0 0 = = 即眼睛在镜中得象看起来与人眼的距离 为 120 cm。这里考虑到近轴条件下 的象似深度和平面折射与反射问题。 平 面反射总能使单心光束保持， 然 而平面折 射将会产生象散现象。在近轴条件下，单心

12、性近似保持。 16、一曲率半径 R60cm 的凹球面镜装有水，水的折射率 为 4 3。若水的 深度比半径 R 小得多，试求该系统的焦距。解：若没有装水时，入射波经镜面反射后通过 ，它离开镜面得距离为 1 F 2 0 R f = 当装有水时，经折射、反射和折射，其几何关系为 2 / s i n 0 f a R a t g = = s i n f a t g = 由折射定律，得 s i n s i n 0 f f n = = 故加水后，系统得焦距为 c m n R n f f 5 . 22 3 4 2 60 2 0 = = = = 由此可知， 凹 面镜上充以稍许水， 焦 距将会减少 n 倍， 这

13、个结论是直接运用 最基本得折射定律和近似条件得到得。 其 次， 若 凹面镜充满水时， 则 焦距和未充 水时相同。 17、半径为 R10cm 和厚度为 b0.5 的圆板，它由折射率沿径向变化的材 料构成，中心处的折射率为 ，边缘的折射率为 。试求： 5 . 1 0 = n 0 . 1 = R n (1)圆板的折射率如何变化时，在近轴条件下，平行于主轴的光聚焦； (2)该焦距的值。解：(1)如图(a)所示，离轴为 r 的光线的光程为 A r f b n r = + + 2 / 1 2 ) ( 即 (1) A f r f b n r = + + 2 / 1 2 2 ) 1 ( 式中 A 为常数。与轴

14、上光线比较。得 (2) A b n f R b n f r b n R r = + = + = + 0 2 1 2 1 0 2 2 这里运用到 的近轴条件，此时，式(1)按牛顿二项式展开，即 f r 端面外介质的折射率为 ，试证明：能使光线在光纤 内发生全反 射的入射光束 0 n 的最大孔径角 为 1 i 2 2 2 1 1 0 s i n n n i n = 其中， 称为光纤的数值孔径。 1 0 s i n i n 解：按折射定律，得 2 2 1 1 1 0 s i n s i n s i n i n i n i n = = 2 2 1 s i n 1 i n = 由于光线在玻璃芯和外套得界面上发生全反射得条件为 1 2 2 s i n n n i 故欲使光线在光纤内发生全反射， 须满足 1 i