高中数学解析几何的教学创新与探索

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1、高中数学解析几何的创新教学探索 摘要：通过对高中数学解析几何内容的分析，阐述了解析几何的课程特点和教学意义；以 课程内容和教学实践为基础，进一步分析了当前高中数学中解析几何教学的特点和难点， 为探索和创新教学方式明确了方向；在重视基础理论和以学生为中心的原则下，提出了教 学思想重视规划突出引导、充分利用几何画板和手工制作的创新教学方法。 1 高中数学解析几何的内容及意义 1.1 高中数学解析几何的内容高中数学中关于几何的知识主要集中在了第三册，其内容主要包括空间几何体、点线 面位置关系、直线与方程和圆与方程等四章内容，空间几何体部分主要讲述了结构、视图、 表面积和体积，该部分通过直观方式拓宽学

2、生关于几何的认识，与初中的平面二维几何形 成了对比，其内容特色在于突出了“体” ，使学生的几何思维由平面二维延伸到了立体三维； 其中表面积和体积是高中几何关于空间几何体的基本知识。高中几何中点线面的知识是建 立在初中几何基础之上的，点、线、面作为几何的三大基本要素，是解析几何中判断几何 图形位置关系的切入点和重要依据，因此高中几何一方面将点线面之间的关系拓宽到空间 范畴，另一方面基于数学解析式判断直线和平面的平行、垂直等特殊位置关系，将复杂的 空间几何位置关系逐渐过渡到解析几何范畴。直线与方程一章将倾斜角、斜率、直线方程、 交点和距离等基本要素进行了陈述，这些内容即是直线位置关系的基本要素，又

3、与高中物 理动力学的相关知识相关联，对于判断函数的几何特性和数学规律具有重要意义。圆与方 程是典型的二元二次方程，在自变量的数量、幂的大小两方面都实现了飞跃，同时也增加 了计算复杂程度，该章主要以圆的方程、直线与圆的位置关系为主要内容，使学生的解析 几何计算能力由二元一次方程组向二元二次方程组过渡。 1.2 高中数学解析几何的意义高中数学中解析几何从教学方面主要有两大意义，一方面可以完善高中数学理论体系， 融汇函数和几何的知识，使学生对数学的认识从单纯的代数或几何上升到解析几何层面， 既能增强学生的几何问题解决能力，又能提高学生对函数知识的运用能力，能够非常全面 的考察学生对函数和几何的综合运

4、用能力。另一方面可以促进高中物理课程的学习，高中 物理的动力学部分，特别是速度和距离、加速度和受力平衡等部分，与直线的斜率等关系 密切，利用解析几何的相关知识可以使学生更加直观的理解物理学中的一些基本概念和运 动规律。高中数学解析几何对学生思维能力的锻炼同样具有重要意义，新课程背景下，高 中数学更加重视学生的创新能力和动手能力的培养，直线、圆的种类、位置具有多样化， 但是他们的基本解析方程类型是固定的，随着直线和圆的位置关系的变化，二者之间的位 置关系又变得更加多样性，所以通过高中数学解析几何的讲授，能够在夯实学生基本能力、 基本知识的基础上，推动学生思维能力的创新和综合知识的运用能力。 2

5、高中数学解析几何的教学特点 普通高中数学课程标准 （简称课程标准）对高中数学解析几何的教学提出了明确要 求，从课程标准的要求可以看出，高中数学解析几何的教学具有层次性、逻辑性和实用性 三个方面的教学特点 1 。 2.1 课程内容安排由简入繁高中数学解析几何在课程内容安排方面更加突出层次性，先对几何概念进行拓展，使 学生对几何的认识从二维向三维拓展，进而形成几何维度方面的层次性；其次对几何的元 素由点、线、面的独立特性向三者之间的交互特性转变，比如由线或面的平行或垂直的基 本概念向直线的倾角和直线方程过度，在此处的课程讲解中，需要提示学生几何位置关系的判断由以“形”为主的位置判断向以“方程”为主

6、的解析判断过渡，从而构成几何问题 的系统解决方案。最后对解析结合的应用，从一次方程（直线的方程）向二次方程（圆的 方程）过渡，此处的讲解中不仅要提示学生几何形状的变化，而且要结合已经讲解的函数 的相关理论，强调二次方程和圆的方程的相同点和不同点，从而在判断直线和圆的位置关 系时能够考虑到交点的数量和取值的正负等细节。 2.2 课程讲授以公理为基础高中解析几何的最大特点在于几何图形与函数方程的紧密结合，从而使高中解析结合 的教学更加突出“形”和“数”的关系，几何图形通常具有直观性，其概念和特征也都通 俗易懂，但是几何体之间的位置关系的判断和求解通常对几何公理的综合、灵活的运用要 求更加高，例如平

7、行辅助线的添加、勾股定理的运用、相似三角形的判断等，这些初中几 何的基本常识在高中几何的命题中大量出现，如果学生对初中几何基本定理掌握不牢固， 在高中几何的学习中会始终处于被动境地。高中解析几何对公理的重要依赖性，还体现在 解析几何对二元二次方程的综合运用，特别是在直线和圆的位置关系这一章，如何判断和 直线的位置关系，仅用几何知识很难精确求解，将直线方程和圆的方程构成方程组之后， 就可以根据二元二次方程的根的判别式进行交点数量的判断，因此高中解析几何对基本公 理的牢固掌握要求更高。 2.3 课程命题从实践向理论高中解析几何的知识结构决定了其命题特点从以理论为主向理论实践结合过度，课程 标准对高

8、中解析几何的教学目标也定位于“重视联系生活实际，强调应用，加强动手操作” 1 。解析几何的命题本质仍然是几何问题，数、形结合是解析几何命题解答的一大特色， 使学生的空间思维能力和代数逻辑推理能力紧密结合。高中数学解析几何在命题时更加倾 向于实践问题，特别是在命题的描述方面，将实际生活中的圆类物体、杆件类物体进行客 观描述，再要求学生求解几何体之间的位置关系，这类问题既考查了学生从客观描述抽象 问题、描述问题，并用数学知识建立模型的能力，对学生的创新能力具有重要的培养意义。 此类命题的设置，在本质上属于高校理论力学中的部分内容，高中阶段对解析几何的 学习和练习，对高等教育中力学问题的解决也具有重

9、要的基础铺垫作用。 3 高中数学解析几何的教学难点 高中数学解析几何的教学难点主要包括基本定理、数形结合和问题提炼，这三方面的 教学难点既影响了教学质量的提高，也影响了学生创新能力的提升。 3.1 基本定理的准确理解和熟练运用基本定理是高中数学的基本内容，是解决高中数学问题的理论基础，基本定理通常被 教师和学生认为是最简单的内容，教师在教授时通常忽略了学生对基本定理的理解，在素 质教育背景下，很多高中数学教学中，都将基本定理的证明、推导进行了简化，课堂上只 对基本定理进行规律性总结，学生只把基本定理当成一个标准死记硬背。但是实际的数学 问题解答中，特别是解析几何问题的解答，对基本定理的要求非常

10、高，既要求对基本定理 的内容非常熟练，又要求对基本定理的应用条件、推导方法熟练掌握。基本定理是典型问 题的完美解答，其蕴含了解析几何的结题思路、解题规律，其实质上是最具代表性的解析 几何问题和解题模板。由于教师和学生对基本定理的重视程度不够，导致学生在实际问题 的解答时，特别是综合性的解析结合命题解答时，通常不能灵活的运用基本定理，从而失 去了对基本定理的主动权。 3.2 几何形状与数学方程的对应互换解析几何的最大特点在于几何图形和熟悉方程的综合应用，在命题解答中也需要几何 方法和数学方法综合运用，实际教学中学生对几何形状和数学方程的对应互换能力不足。 例如，当提及直线时，不能立刻想到二元一次

11、方程；当求解直线交点距离时，不能想到二元一次方程组；学生对几何问题的理解大部分时间都停留在以单纯的几何位置关系进行问 题解答，在问题解答方案的思考时，也总是先从几何角度出发，经过几轮尝试之后再回到 解析方法。学生的对应互换能力差，根源在于在教学中未对解析几何的特点进行系统性的 理解，例如直线的交点问题，本质上是直线上的点的问题，对于几何形状仅有中点是特殊 点，也容易判断，而交点实质上是多样化的，直线之间的位置不同，交点的位置也不同， 这就决定了直线焦点问题不可能单纯依靠几何方法进行解答；同时，每条直线对应一个二 元一次方程，两条直线恰好构成一个方程组，用方程组求直线焦点，就无需考虑直线的几 何

12、位置，大大简化了思维的负担和逻辑的层次。因此，如何强化学生对几何形状和数学方 程的对应互换能力，是当前高中解析几何教学的一大难点。 3.3 几何命题的要点提炼和方程构建在新课程标准下，对学生创新能力的培养要求更加突出，创新能力的考察主要通过命 题方式的改变，将过去单纯的由数学语言描述数学问题，转变成由生活语言描述生活问题， 如何从通俗的问题描述中提炼数学问题，如何用数学知识解决生活问题，成为当前高中解 析几何教学中的又一难点。对几何命题的要点提炼是指上是对解析几何的深入理解，高中 解析结合主要涉及直线、圆，对解析几何的深入理解实质上是对直线方程和圆的方程的理 解，直线的重要属性是同一直线的倾斜

13、角度相同，圆的重要属性是圆上任一点到圆心的距 离相等，如果教师在授课中未对这两个属性进行明确，那么学生可能会抓不住直线和圆的 几何特点，从而在面对命题时，不能通过命题中的关键字眼与几何建立直接联系。此外， 解析几何中位置关系是变化最多、求解最频繁的知识点，也是命题中最常见的类型，如果 学生对几何位置关系的解析表达式掌握不熟练，同样不能快速的构建方程，从而增加解析 几何问题的难度。 4 高中数学解决几何的教学创新与探索 高中数学解析几何的教学创新必须坚持重视基础理论的原则和以学生为中心的原则， 增强对基础理论的理解和运用熟练程度，才能准确、高效地处理解析几何问题，坚持以学 生为中心，才能避免教学

14、创新和探索流于形式。解析几何是综合了几何问题和代数问题的 一门学科，在理论运用方面具有一定的交叉性，这就要求教师在教学思想和教学手段两方 面进行不断的创新和探索。 4.1 教学思想重视规划突出引导 教学思想的创新集中表现在规划和引导两个方面，规划是指对教学内容的规划、教学 流程的规划和教学反馈的规划，引导是指对学生自学能力的引导、发散思维的引导和逻辑 推理能力的引导。 高中解析几何是从表面上看是高中数学的一部分内容，实质上它与高中数学自身和高 中其他课程都有紧密联系，例如它与高中的函数内容有联系，与高中物理的动力学内容有 联系，因此，教师在教学中必须主动把握解析几何的内容，明确告诉学生解析几何

15、与高中 其他课程的内容关联 2 。在解析几何的教学流程规划方面，教师需要结合学生的学业负担、 基础状况等因素，设置通用性和差异性兼顾的教学流程，例如在基本知识的讲解时，要重 视通用性，面向所有学生，采用授新、巩固、深化、小结、作业复习的流程。在解析几何 的教学反馈规划方面，通过学生在课堂习题的解答速度和质量，对学生布置差异性的家庭 作业。 高中解析几何对方程和几何的知识都有较多应用，在课堂教学中，教师必须把解析几 何的基本定理的证明过程详细讲述，并在基础理论阶段鼓励学生个人亲自证明基本定理， 增强学生对基本理论的系统了解 3 。解析几何的数形结合特点决定了其具有无穷的奥妙， 在讲授直线方程、圆

16、的方程以及它们的位置关系时，可以探索鼓励学生进行讨论，通过对 几何形状和位置的讨论，利用方程的思想去验证讨论，从而增强学生对解析几何的数形结合的理解。 4.2 充分利用几何画板和手工制作学生对几何问题的理解最直接的方式就是图形和实物，因此在教学手段创新中要高度重 视几何画板和手工制作的重要作用。几何画板目前已经在很多高中普及，极大的简化了教 学环节、提高了课堂效率 4 ，在解析几何的教学中，对几何画板的应用应该更加系统、全 面，例如在讲授直线的方程时，要对直线方程中的相同变量进行不同赋值，通过几何画板 表达变量数值变化产生的几何位置关系的变化；在讲授直线和圆的位置关系时，通过改变 直线倾斜角度，实现直线和圆交点数量、相交位置的变化，使学生对方程组和几何位置关 系建立直接联系。实物制作能够更加考验学生的动手能力，一个好的实物制作应该能够体 现解析几何的数学本质 5 ，因此教师在布置实物制作作业时，要在数学方程的基础之上， 通过理论计算确定几何形状的尺寸和位置关系，再将这些内容转化成实物制作任务，使学 生在实物制作中去验证解析几何的答案。 5 结论 通过对高