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1、知识在手,世界我有 中山大学家教介绍所 http:/ 或 http:/ 数列 一、 求递推数列通项公式 基础类型 n n n n a a d a a q 1 1 及 类型 1 ) ( 1 n f a a n n 解法:把原递推公式转化为 ,利用累加法(逐差相加法) 求解。 ) ( 1 n f a a n n 例 1:已知数列 满足 , ,求 。 n a 2 1 1 a n n a a n n 2 1 1 n a 解:由条件知: 1 1 1 ) 1 ( 1 1 2 1 n n n n n n a a n n 分别令 ,代入上式得 个等式累加之,即 ) 1 ( , , 3 , 2 , 1 n n
2、) 1 ( n ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a所以 ) 1 1 1 ( ) 4 1 3 1 ( ) 3 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( n n n a a n 1 1 1 , 2 1 1 a Q n n a n 1 2 3 1 1 2 1 类型 2 n n a n f a ) ( 1 解法:把原递推公式转化为 ,利用累乘法(逐商相乘法) 求解。 ) ( 1 n f a a n n 例 2:已知数列 满足 , ,求 。 n a 3 2 1 a n n a n n a 1 1 n a 解:由条件知 ,分别令 ,代入上式得 个等
3、式累乘之,即 1 1 n n a a n n ) 1 ( , , 3 , 2 , 1 n n ) 1 ( n 1 3 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1 n a a n 1 1 又 , 3 2 1 a Q n a n 3 2 例 3:已知 , ,求 。 3 1 a n n a n n a 2 3 1 3 1 ) 1 ( n n a 解: 1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 3 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 a n n n n a n 知识在手,世界我有 中山大学家教介绍所 http
4、:/ 或 http:/3 4 3 7 5 2 6 3 3 1 3 4 8 5 3 1 n n n n n L 。 变式:(2004,全国 I, 理 15 )已知数列a n ,满足 a 1 =1, 1 3 2 1 ) 1 ( 3 2 n n a n a a a a (n2),则a n 的通项1 _ n a 1 2 n n 解:由已知,得 ,用此式减去已知式,得 n n n na a n a a a a 1 3 2 1 1 ) 1 ( 3 2 当 时, ,即 ,又 , 2 n n n n na a a 1 n n a n a ) 1 ( 1 1 1 2 a a ,将以上 n 个式子相乘,得 n a
5、 a a a a a a a a n n 1 3 4 2 3 1 2 1 , , 4 , 3 , 1 , 1 2 ! n a n ) 2 ( n 类型 3 (其中 p,q 均为常数, ) 。 q pa a n n 1 ) 0 ) 1 ( ( p pq 解法(待定系数法):把原递推公式转化为: ,其中 ,再利用换元法转 ) ( 1 t a p t a n n p q t 1 化为等比数列求解。 例 4:已知数列 中, , ,求 . n a 1 1 a 3 2 1 n n a a n a 解:设递推公式 可以转化为 即 .故递推 3 2 1 n n a a ) ( 2 1 t a t a n n
6、3 2 1 t t a a n n 公式为 ,令 ,则 ,且 .所以 ) 3 ( 2 3 1 n n a a 3 n n a b 4 3 1 1 a b 2 3 3 1 1 n n n n a a b b 是以 为首项,2 为公比的等比数列,则 ,所以 . n b 4 1 b 1 1 2 2 4 n n n b 3 2 1 n n a 变式:(2006,重庆,文,14) 在数列 中,若 ,则该数列的通项 _ n a 1 1 1, 2 3( 1) n n a a a n n a (key: ) 3 2 1 n n a 类型 4 (其中 p,q 均为常数, ) 。 (或 n n n q pa a
7、1 ) 0 ) 1 )( 1 ( ( q p pq ,其中 p,q, r 均为常数) 。 1 n n n a pa rq 知识在手,世界我有 中山大学家教介绍所 http:/ 或 http:/ 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 ,得: 引入辅助数列 (其 1 n q q q a q p q a n n n n 1 1 1 n b 中 ) ,得: 再待定系数法解决。 n n n q a b q b q p b n n 1 1 例 5:已知数列 中, , ,求 。 n a 6 5 1 a 1 1 ) 2 1 ( 3 1 n n n a a n a 解:在 两边乘以 得: 1 1 ) 2 1
8、 ( 3 1 n n n a a 1 2 n 1 ) 2 ( 3 2 2 1 1 n n n n a a 令 ,则 ,解之得: n n n a b 2 1 3 2 1 n n b b n n b ) 3 2 ( 2 3 所以 n n n n n b a ) 3 1 ( 2 ) 2 1 ( 3 2 类型 5 递推公式为 (其中 p,q 均为常数) 。 n n n qa pa a 1 2 解 (特征根法):对于由递推公式 , 给出的数列 ,方程 n n n qa pa a 1 2 2 1 ,a a n a ,叫做数列 的特征方程。 0 2 q px x n a 若 是特征方程的两个根, 2 1 ,
9、 x x 当 时,数列 的通项为 ,其中 A,B 由 决定(即把 2 1 x x n a 1 2 1 1 n n n Bx Ax a 2 1 ,a a 和 ,代入 ,得到关于 A、B 的方程组) ; 2 1 2 1 , , , x x a a 2 , 1 n 1 2 1 1 n n n Bx Ax a 当 时,数列 的通项为 ,其中 A,B 由 决定(即把 2 1 x x n a 1 1 ) ( n n x Bn A a 2 1 ,a a 和 ,代入 ,得到关于 A、B 的方程组) 。 2 1 2 1 , , , x x a a 2 , 1 n 1 1 ) ( n n x Bn A a 例 6
10、: 数列 : , ,求 n a ) , 0 ( 0 2 5 3 1 2 N n n a a a n n n b a a a 2 1 , n a 解(特征根法):的特征方程是: 。 , 0 2 5 3 2 x x 3 2 , 1 2 1 x x Q 。又由 ,于是 1 2 1 1 n n n Bx Ax a 1 ) 3 2 ( n B A b a a a 2 1 ,故 ) ( 3 2 3 3 2 b a B a b A B A b B A a 1 ) 3 2 )( ( 3 2 3 n n b a a b a 练习:已知数列 中, , , ,求 。 n a 1 1 a 2 2 a n n n a
11、a a 3 1 3 2 1 2 n a知识在手,世界我有 中山大学家教介绍所 http:/ 或 http:/ 。 1 7 3 1 : ( ) 4 4 3 n n key a 变式:(2006,福建,文,22) 已知数列 满足 求数列 的通项公式; n a * 1 2 2 1 1, 3, 3 2 ( ). n n n a a a a a n N n a (I)解: 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) . ( ) n n n n n a a a a a a a a 1 2 * 2 2 . 2 1 2 1( ). n n n n N 类型 6 递推公式为 与 的关系式。( 或 ) n S n a
12、 ( ) n n S f a 解法:利用 与 消去 ) 2 ( ) 1 ( 1 1 n S S n S a n n n ) ( ) ( 1 1 n n n n n a f a f S S a n S 或与 消去 进行求解。 ) 2 ( n ) ( 1 n n n S S f S ) 2 ( n n a 例 7:数列 前 n 项和 .(1)求 与 的关系;(2)求通项公式 . n a 2 2 1 4 n n n a S 1 n a n a n a 解:(1)由 得: 2 2 1 4 n n n a S 1 1 1 2 1 4 n n n a S 于是 ) 2 1 2 1 ( ) ( 1 2 1 1 n n n n n n a a S S 所以 . 1 1 1 2 1 n n n n a a a n n n a a 2 1 2 1 1 (2)应用类型 4( (其中 p,q 均为常数, ) )的方法,上 n n n q pa a 1 ) 0