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1、知识在手，世界我有 中山大学家教介绍所 http:/ 或 http:/ 数列 一、 求递推数列通项公式 基础类型 n n n n a a d a a q 1 1 及 类型 1 ) ( 1 n f a a n n 解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法) 求解。 ) ( 1 n f a a n n 例 1:已知数列 满足 ， ，求 。 n a 2 1 1 a n n a a n n 2 1 1 n a 解：由条件知： 1 1 1 ) 1 ( 1 1 2 1 n n n n n n a a n n 分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即 ) 1 ( , , 3 , 2 , 1 n n
2、) 1 ( n ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a所以 ) 1 1 1 ( ) 4 1 3 1 ( ) 3 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( n n n a a n 1 1 1 ， 2 1 1 a Q n n a n 1 2 3 1 1 2 1 类型 2 n n a n f a ) ( 1 解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。 ) ( 1 n f a a n n 例 2:已知数列 满足 ， ，求 。 n a 3 2 1 a n n a n n a 1 1 n a 解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等
3、式累乘之，即 1 1 n n a a n n ) 1 ( , , 3 , 2 , 1 n n ) 1 ( n 1 3 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a n n 1 4 3 3 2 2 1 n a a n 1 1 又 ， 3 2 1 a Q n a n 3 2 例 3:已知 ， ，求 。 3 1 a n n a n n a 2 3 1 3 1 ) 1 ( n n a 解： 1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 3 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 a n n n n a n 知识在手，世界我有 中山大学家教介绍所 http
4、:/ 或 http:/3 4 3 7 5 2 6 3 3 1 3 4 8 5 3 1 n n n n n L 。 变式:（2004，全国 I, 理 15 ）已知数列a n ，满足 a 1 =1， 1 3 2 1 ) 1 ( 3 2 n n a n a a a a (n2)，则a n 的通项1 _ n a 1 2 n n 解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得 n n n na a n a a a a 1 3 2 1 1 ) 1 ( 3 2 当 时， ，即 ，又 ， 2 n n n n na a a 1 n n a n a ) 1 ( 1 1 1 2 a a ，将以上 n 个式子相乘，得 n a
5、 a a a a a a a a n n 1 3 4 2 3 1 2 1 , , 4 , 3 , 1 , 1 2 ! n a n ) 2 ( n 类型 3 （其中 p，q 均为常数， ） 。 q pa a n n 1 ) 0 ) 1 ( ( p pq 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转 ) ( 1 t a p t a n n p q t 1 化为等比数列求解。 例 4:已知数列 中， ， ，求 . n a 1 1 a 3 2 1 n n a a n a 解：设递推公式 可以转化为 即 .故递推 3 2 1 n n a a ) ( 2 1 t a t a n n
6、3 2 1 t t a a n n 公式为 ,令 ，则 ,且 .所以 ) 3 ( 2 3 1 n n a a 3 n n a b 4 3 1 1 a b 2 3 3 1 1 n n n n a a b b 是以 为首项，2 为公比的等比数列，则 ,所以 . n b 4 1 b 1 1 2 2 4 n n n b 3 2 1 n n a 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列 中，若 ，则该数列的通项 _ n a 1 1 1, 2 3( 1) n n a a a n n a （key: ） 3 2 1 n n a 类型 4 （其中 p，q 均为常数， ） 。 （或 n n n q pa a
7、1 ) 0 ) 1 )( 1 ( ( q p pq ,其中 p，q, r 均为常数） 。 1 n n n a pa rq 知识在手，世界我有 中山大学家教介绍所 http:/ 或 http:/ 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其 1 n q q q a q p q a n n n n 1 1 1 n b 中 ） ，得： 再待定系数法解决。 n n n q a b q b q p b n n 1 1 例 5:已知数列 中， , ，求 。 n a 6 5 1 a 1 1 ) 2 1 ( 3 1 n n n a a n a 解：在 两边乘以 得： 1 1 ) 2 1
8、 ( 3 1 n n n a a 1 2 n 1 ) 2 ( 3 2 2 1 1 n n n n a a 令 ，则 ,解之得： n n n a b 2 1 3 2 1 n n b b n n b ) 3 2 ( 2 3 所以 n n n n n b a ) 3 1 ( 2 ) 2 1 ( 3 2 类型 5 递推公式为 （其中 p，q 均为常数） 。 n n n qa pa a 1 2 解 (特征根法)：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 n n n qa pa a 1 2 2 1 ,a a n a ，叫做数列 的特征方程。 0 2 q px x n a 若 是特征方程的两个根， 2 1 ,
9、 x x 当 时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即把 2 1 x x n a 1 2 1 1 n n n Bx Ax a 2 1 ,a a 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） ； 2 1 2 1 , , , x x a a 2 , 1 n 1 2 1 1 n n n Bx Ax a 当 时，数列 的通项为 ，其中 A，B 由 决定（即把 2 1 x x n a 1 1 ) ( n n x Bn A a 2 1 ,a a 和 ，代入 ，得到关于 A、B 的方程组） 。 2 1 2 1 , , , x x a a 2 , 1 n 1 1 ) ( n n x Bn A a 例 6
10、: 数列 ： ， ,求 n a ) , 0 ( 0 2 5 3 1 2 N n n a a a n n n b a a a 2 1 , n a 解（特征根法）：的特征方程是： 。 , 0 2 5 3 2 x x 3 2 , 1 2 1 x x Q 。又由 ，于是 1 2 1 1 n n n Bx Ax a 1 ) 3 2 ( n B A b a a a 2 1 ,故 ) ( 3 2 3 3 2 b a B a b A B A b B A a 1 ) 3 2 )( ( 3 2 3 n n b a a b a 练习:已知数列 中， , , ，求 。 n a 1 1 a 2 2 a n n n a
11、a a 3 1 3 2 1 2 n a知识在手，世界我有 中山大学家教介绍所 http:/ 或 http:/ 。 1 7 3 1 : ( ) 4 4 3 n n key a 变式:（2006，福建,文,22） 已知数列 满足 求数列 的通项公式； n a * 1 2 2 1 1, 3, 3 2 ( ). n n n a a a a a n N n a （I）解： 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) . ( ) n n n n n a a a a a a a a 1 2 * 2 2 . 2 1 2 1( ). n n n n N 类型 6 递推公式为 与 的关系式。( 或 ) n S n a
12、 ( ) n n S f a 解法：利用 与 消去 ) 2 ( ) 1 ( 1 1 n S S n S a n n n ) ( ) ( 1 1 n n n n n a f a f S S a n S 或与 消去 进行求解。 ) 2 ( n ) ( 1 n n n S S f S ) 2 ( n n a 例 7：数列 前 n 项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . n a 2 2 1 4 n n n a S 1 n a n a n a 解：（1）由 得： 2 2 1 4 n n n a S 1 1 1 2 1 4 n n n a S 于是 ) 2 1 2 1 ( ) ( 1 2 1 1 n n n n n n a a S S 所以 . 1 1 1 2 1 n n n n a a a n n n a a 2 1 2 1 1 （2）应用类型 4（ （其中 p，q 均为常数， ） ）的方法，上 n n n q pa a 1 ) 0
