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1、1 第四章 概率统计模型本章的目的不是系统地介绍概率论和统计分析的内容，而是利用概率论和统计分析的知识建立和 分析实际问题，从而建立数学模型。4.1 古典随机模型一、古典概型设 E 是随机试验， 是 E 的样本空间，若 只含有有限个基本事件有限性； 1 每个基本事件发生的可能性相同等可能性。 2 则称 E 为古典概型。 在古典概型中，如果事件 A 是由全部 n 个基本事件中的某 m 个基本事件复合而成的，则事件 A 的概率可用下式来计算：n m A P ) ( 例 1 配对问题 某人先写了 n 封投向不同地址的信，在写 n 个标有这 n 个地址的信封，然后随意的在每个信封内 装入一封信。试求信
2、与地址配对的个数的数学期望。 解：用 表示“第 i 封信与地址配对”这一事件，则 i A) ( 1 1 0 i n i A P q 为求 ，可利用一般加法公式 ) ( 1 i n i A P ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 3 2 1 1 n n n k j i k j i n j i j i n i i i n i A A A P A A A P A A P A P A P L L U 来计算。第 i 封信可装入 n 个信封，恰好和地址配对的概率 ，故 n A P i 1 ) ( 1 ) ( 1 n i i A P 如 出现，第 j 封信共有 n1 个信封可以
3、选择，故 i A , 1 1 1 ) ( ) ( ) ( , 1 1 ) ( n n A A P A P A A P n A A P i j i j i i j 从而 , ! 2 1 ) 1 ( / ) ( 2 2 n n C A A P n n j i j i 类似地可得到2 ! 1 ) ( , ! 3 1 ) 2 )( 1 ( / ) ( 2 1 3 3 n A A A P n n n C A A A P n n n k j i k j i L L L 于是 n k n k k k i n i k k A P q 1 0 1 1 0 ! ) 1 ( ! ) 1 ( 1 ) ( 1 U q
4、0 与 n 有关，如记 q 0 =q 0 (n), 则利用 q 0 不难求出 q r 。于是指定某 r 封信和地址配对，则这一事件的概率 为 ) 1 ( ) 1 ( 1 r n n n L 其余 nr 封信中没有一个和地址配对的概率为 r n k k k r n q 0 0 ! ) 1 ( ) ( 由于 r 封信与地址配对共有 种选法，故 r n C r n k k r n k k r n r k r k r n n n C q 0 0 ! ) 1 ( ! 1 ! ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( L 设信与地址配对的对数为随机变量 ，则有数学期望 r n k k n r n r r k r
5、 r rq E 0 0 0 ! ) 1 ( ! 直接计算有些困难，可设 封信与地址不配对 第 封信与地址配对 第 k 0 k 1 k 则有n n E E E E L L 2 1 2 1 又由于n A P P P P E k k k k k 1 ) ( ) 1 ( ) 0 ( 0 ) 1 ( 1 从而1 1 n n E 这样一来，实际上我们还用概率的方法证明了下列恒等式31 ! ) 1 ( )! 1 ( 1 1 1 n r r n k k k r二、几何概型 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。一般讲，具有下列特 点的概率问题称之为几何概型： （1）有一个可度量的几
6、何图形 ，试验 E 看成是在 中随机的投掷一点，即为样本空间。而事 件 A 就是所投掷的点落在 中的可度量图形 A 中。 （2）事件 A 的概率与 A 的度量 L（A）成正比。 几何概型的概率定义为) ( ) ( ) ( L A L A P 其中 L 表示测度，即度量，可以是长度、面积和体积。 例 2 蒲丰（Buffon ）投针问题 1777 年法国科学家蒲丰提出了下列著名问题，这是几何概型的一个早期例子。平面上画有等距 离为 a 的一些平行线，向此平面任投一长为 l （l 的针，试求此针与任意平行线相交的概率。 ) a 解 以 M 表示针落下去后的中点，x 表示中点 M 到最近一条平行线的距
7、离， 表示针与平行线 的交角，那么，基本事件区域为 0 2 0 : a x 它为平面上的一个矩形，其面积为： 。 2 ) ( a L 为使针与平行线（这线必定是与 M 最近的一条平行线）相交，其充分必要条件是: 0 sin 2 0 : l x A 显然 A 是 中的一个区域。而 A 的面积为 l d l A L sin 2 1 ) ( 0 从而所求概率为 a l a l L A L p 2 2 1 ) ( ) ( 三、贝努利概型贝努利概型是一种描述在相同的条件下重复进行同一试验的数学模型。它的特点是：每次试验的 结果只有两种可能，即事件 A 或 ；各此试验的结果相互独立。 A再生产过程中，产品
8、或者合格或者不合格；投篮时或者投中或者投不中；掷硬币时，或者出现正 面或者出现反面等等，都可以用贝努利概型来描述。为了建立模型的需要，我们用数值 1 和 0 分别表示贝努利试验中的两种对立的结果，并假设 p(0p1)为 1 代表的结果（A）出现的概率，因而以 0 代表的结果（ ）出现的概率为 1-p 。则称随机 A4 变量 A 事件 出现 事件 0 A 1 服从于贝努利分布或两点分布。四、二项分布概型假设在同一条件下，对贝努利概型所描述的试验，重复 n 次，设 为在 n 次试验中事件 A 出现的 次数。显然 是随机变量，其取值范围为 0，1，2，n。根据简单的组合理论可以证明， 取这 些值的概
9、率为) , , 2 , 1 ( n k q p C k P p k n k k n k L 其中 p 为事件 A 在一次试验中出现的概率；q=1-p 为事件 出现的概率。由于 p k 可分别表示成 A （p+q） n 的展开式的各项，因此称 服从于二项分布，简记为 b(n,p)。 需要指出的是， ，当 n 较小时，可利用上式直接计算 p k ,但当 n 较大，根据 p 的大小可用另外的一 些概率模型（泊松分布概型或正态分布概型）来逼近 p k 。例 3 巴拿赫（Banach ）火柴盒问题波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有 n 根火柴，每次使用 时，便随机的从其中
10、一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数的分布律。解：设 A=取左衣袋中的一盒， =取右衣袋中的一盒 。取一次火柴看作一次试验，而每次试 A 验的结果有两个：A 发生或 发生。显然 AP(A)=P( 2 1 ) A为方便起见，我们约定取到左衣袋中的一盒叫“成功” ，于是可以用贝努利概型来描述这个问题了。此人首次发现左衣袋中的一盒是空的，这是他不是在作第 n 次成功的试验,而是作第 n+1 次成功的 试验了，而此时右边一盒恰剩 k 根相当于在 n+1 次成功以前恰有 n-k 次失败，于是共作了(n+1)+(n-k) =2n-k+1 此贝努利试验，即 A 发生了 n+1 次，
11、发生了 n-k 次。但第 2n-k+1 次是成功的，而前 2n-k A 次中有 n 次成功。因此，发现左衣袋中空时，右衣袋中恰有 k 根火柴的概率为k n n n k n k n n n k n C A P A P C A P ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 由对称性，若发现右边一盒已空而左边一盒剩 k 根的概率也是k n n k n n C ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 1 2设 为发现其中一盒已空而另一盒剩下的火柴根数，则 是一个离散型随机变量， 取值范围是 0，1，2，n，且 的分布律为 2，n , 1 , 0 , ) 2 1 ( ) 2 1
12、 ( ) 2 1 ( 2 1 2 2 2 2 k C C k P k n k n n k n n n k n 五、几何分布概型5 考察一系列贝努利试验，设 表示首次发生事件 A 的试验次数。即 表示在第 k 次试验时， k 事件 A 才第一次发生，则 的取值范围为 1，2，k，。由于要使首次发生事件 A 在第 k 次试验， 必须而且只需在前 k 次试验中都出现 ，而第 k 次试验出现 A，所以根据 的定义及各次试验的独立 A 性，有，k=1,2, p q k P p k k 1 ) ( 其中 。概率 p k 可由首项取 p，公比取 q 的几何级数的第 k 项给出，所以 q p A P p A
13、P 1 ) ( , ) ( 我们称上述随机变量 服从于几何分布。简记为 g(p)。 在产品制造中，考察在首次出现一个不合格品之前所生产的产品个数，可以检验生产线的水平； 在篮球比赛中，考察一个球队出现第一次罚球不中之前罚中球的个数，从而衡量一个球队发挥的稳定 性。这些问题都可以用一个几何分布概型来描述。 例 4 生男生女问题 已知人口中男女比例为 49.5：50.5。假定这个比例一般是适用的，要求确定有 5 个孩子的家庭中： （1）至少有一个男孩；（2）至少有一个男孩和一个女孩；（3）只有最小的孩子是男孩的概率。 解 若将一个孩子为男性的概率取作 p，则 p0.495。利用二项分布可得该家庭中
14、有 k 个男孩的概 率 p k 为k 0 1 2 3 4 5p k0.0328 0.1610 0.3156 0.3093 0.1516 0.0297 因此可得 P至少有一个男孩1P 无男孩10.3028=0.9672 P至少有一个男孩和一个女孩 1P无男孩P 无女孩 10.03280.0297=0.9375 假定应用几何分布概型的条件是成立的，那么 P只有最小的孩子是男孩 3219 . 0 495 . 0 ) 505 . 0 ( 1 5 六、巴斯卡分布概型 在一系列的贝努利试验中，设 表示第 r 次发生事件 A 的试验次数。 k 表示在第 k 次试验时 正好第 r 次发生事件 A。那么 的取值范围为 r,r 1,。由于在前 k1 次试验中 r1 次发生事件 A， 而 kr 次发生事件 ，所以有 AL , 1 , , ) ( 1 1 1 1 1 r r k q p C p q p C k P p r k r r k
