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1、数学建模队员选拔模型 摘要1. 问题的重述一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等 原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拨出正真优秀的同学代表学校参 加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不 如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟 练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还 要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。目前选拨队员主要考虑以下几个环节。数学建模培训课程
2、的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面 试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拨出队员。然后按照 3 人一组分为若干小组， 为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小 组至少包含一位数学基础较好的同学，计算机编程能力强的同学。各组通过做题进行交流 和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。下表列出了 15 个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况。 学 生 专业 笔试 班级 排名 听课 次数 其它情况 思维敏 捷 机试 知识 面 S1 数学 96 2 2 A B A S2 电子信息 93 6 过计算机三级 A B B
3、S3 机械 92 4 C D C S4 机械 82 10 4 上过建模选修课 B B A S5 数学 82 3 B C B S6 电子信息 82 3 6 A B D S7 化工与材 料 80 7 5 C B B S8 数学 79 4 考过程序员 A B A S9 电子信息 78 12 4 学过 MATLAB A C C S10 电子信息 77 5 学过 MATLAB A B B S11 化工与材 料 76 6 C A B S12 化工与材 料 74 2 A C A S13 计算机 78 2 B A D S14 计算机 76 5 A B A S15 计算机 66 6 C B B现在需要解决以下问
4、题：根据我们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考查学生的哪些情况？哪些 素质是数学建模的关键素质，如何进行考查？根据上表信息，建立建模队员选拨的数学模型，从中选出 9 位同学，并组成 3 队， 使得这三队具有良好的知识结构。有的指导老师在对学生机试的时候法线一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。为数学建模教练组写一份 1000-1500 字的报告，提出建模队员选拨机制建议，帮助 教练组提高建模队员选拨的效率和质量。 2. 问题的分析 2.1 问题的分析根据经验，我们知道数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、 良好的编程能力和熟练使用数学软
5、件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团 队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。这些都是选拔队员需 要考虑的因素，但在实际问题中指标之间往往相互影响，指标数目繁多且各指标的重要程 度不一样。为此我们采用主成分分析方法对指标进行简化，并根据主成分得到影响选拔的 主要因素。 2.2 问题的分析在一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔 最优秀的队员和科学合理地组队问题，这是一个最实际的、而且是首先需要解决的数学模 型问题。队员的选拔是一个综合的、多准则的决策，在这一过程中既要考察队员的学科成 绩（平均成绩） 、智力水平（思维能力、分析问
6、题和解决问题的能力等） 、动手能力（计算 机的使用和其他方面实际操作能力） 、写作能力、协作能力（团结能力）和其他特长。层次 分析法是一种定性和定量相结合的多目标系统决策方法，广泛应用于各个领域，但传统的 层次分析法存在如下缺点：判别矩阵的一致性指标难以达到；判别矩阵的一致性与人 们决策的一致性存在差异；调整一致性带有盲目性。因此，我们利用模糊一致矩阵的模 糊层次分析方法，它可以解决这些缺点。 2.3 2.3 问题的分析 3.模型的假设与符号说明 3.1 模型的假设 假设问题中所提供队员的基本条件充分地反映了每个队员的真是能力和水平； 假设每个队员的能力和水平在比赛中可以 100% 地发挥，不
7、受外界因素和环境的影响； 同一队三名队员的单项条件互不影响，而且具有互补性，即一个队的水平为最高者的水 平；3.2 符号说明表示笔试成绩； 1 x 表示听课次数的成绩； 2 x 表示思维敏捷的成绩； 3 x 表示机试的成绩； 4 x 表示知识面的成绩； 5 x 4. 模型的建立与求解 4.1 主成分分析法主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成份（即综合变量）的统 计分析方法。这些能够反映原始变量的绝大部分信息，它们通常表示为原始变量的某种线 性组合。它能简化数据、揭示变量之间的内在关系，为进一步分析总体的性质和数据的统 计特性提供重要的信息。主成分分析的一般目的是：（1）变量的
8、降维；（2）主成分的解 释。设 是来自总体 的 维随机向量，均值向量为 ，协方 T k x x x X ) , , , ( 2 1 L F k ) (x E 差为 ， 的特征根为 ， 为 的单位特征向量 。总 V x V ) ( V ) , , 1 ( k i i L i a i ) , , 1 ( k i L 体 表示“取得竞赛较好成绩的参赛队员（用 表示） ”组成的全体， F X 分别表示： ：写作能力， ：机试成绩， ：知识面， ：计算机编程 i x ) 6 , , 1 ( L i 1 x 2 x 3 x 4 x 能力， ：思维敏捷， ：笔试成绩 5 x 6 x设 的线性函数 ，使得 的
9、方差尽可能地大，且 ，即 X X a Y T Y 1 a a T Va a X a v T a a T a a T T 1 1 max ) ( max 由【1】可知 的第 主成分 ，且 。其中 X i x a y i i i i y V ) ( 0 , 0 1 2 1 k r r L L k i i i r i i x V y V 1 1 ) ( ) (由此可以看出，主成分把 个原始变量 的总方差 重新分解成了 个不 k k x x x , , , 2 1 L trV r 相关变量 的方差之和 。这种新分解最大限度地使得在总方差的份额分 r y y y , , , 2 1 L r i i 1
10、配上越是靠前的主成分越能得到尽可能多的照顾，以致前面少数几个主成分往往在总方差 中占有相当大的份额，从而有利于变量的降维。总方差中属于第 主成分 （或被 所解释）的比例为 i i y i y 称为主成分 的贡献率。前 个主成分的贡献率之和 称为主成分 1 i i i i y m r i i m i i 1 1 的累计贡献率，它表明 解释 的能力。通常取（相 m y y y , , , 2 1 L m y y y , , , 2 1 L k x x x , , , 2 1 L 对与 ）较小的 ，使得累计贡献率达到一个较高的百分比（如 80%-90%） 。此时， k m 可用来代替 ，从而达到降维
11、的目的，而信息的损失却不多。 m y y y , , , 2 1 L k x x x , , , 2 1 L 4.2 应用主成分分析法分析元素我们收集了某校 1994 年至 1997 年数学建模竞赛取得较好成绩（一个全国一等奖、两 个全国二等奖、两个区二等奖和两个区三等奖）的参赛队员的相应各方面的成绩（数据经 过标准化处理） 表 1 学生成绩表 xs x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 83 90 82 82 95 89 s2 81 90 90 72 80 81 s3 90 70 75 89 80 90 s4 86 80 90 87 95 89 s5 81 80 71 90 95 90
12、s6 86 90 87 84 95 85 s7 82 70 65 91 90 81 s8 84 90 67 90 90 85 s9 81 90 81 88 85 79 s10 80 90 82 92 85 88 s11 86 70 76 87 80 84 s12 84 90 73 81 95 89 s13 78 80 70 84 95 82 s14 86 90 82 87 95 88 s15 86 70 81 90 85 87 s16 83 80 80 84 90 89 s17 79 90 73 89 95 63 s18 67 80 90 86 85 76 s19 86 70 85 85 90
13、 78 s20 87 70 84 81 95 83 s21 78 60 62 85 85 68 为了使数据具有可比性，我们将原始数据进行了标准化，利用 sas 软件包对已获得的 21 个样品经计算后得（具体操作步骤见附录）： 4.2.1 相关矩阵 表 2 相关矩阵 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 1 -0.1238 0.028 0.0164 0.0838 0.5101 2 x -0.1238 1 0.2999 -0.1578 0.3208 0.1776 3 x 0.028 0.2999 1 -0.385 -0.0488 0.2269 4 x 0.0164 -0.1578
14、 -0.385 1 -0.0019 0.0262 5 x 0.0838 0.3208 -0.0488 -0.0019 1 0.0982 6 x 0.5101 0.1776 0.2269 0.0262 0.0982 1 4.2.2 主成分特征值及贡献率 表 3 前 4 个主成分及贡献率 主成分 特征值 贡献率 累计贡献率 1 y 1.74279433 0.2905 0.2905 2 y 1.44621294 0.2410 0.5315 3 y 1.18246759 0.1971 0.7286 4 y 0.76505808 0.1275 0.8561 4.2.3 主成分的载荷 表 4 前 4 个主
15、成分载荷矩阵 1 y 2 y 3 y 4 y1 x 0.309027 0.634298 -0.171318 -0.311248 2 x 0.460012 -0.318956 0.426244 0.376209 3 x 0.507315 -0.2998899 -0.35949 0.245018 4 x -0.33683 0.422689 0.357215 0.641456 5 x 0.26722 0.02565 0.726211 -0.462245 6 x 0.50066 0.476105 -0.068905 0.276444 模型结果分析： 1、主成分及其变量的关系 6 5 4 3 2 1 1
16、 500660 . 0 267220 . 0 336830 . 0 507315 . 0 460012 . 0 309027 . 0 x x x x x x y 6 5 4 3 2 1 2 476105 . 0 025650 . 0 422689 . 0 299889 . 0 318956 . 0 634298 . 0 x x x x x x y 6 5 4 3 2 1 3 068905 . 0 726211 . 0 357215 . 0 359490 . 0 426244 . 0 171318 . 0 x x x x x x y 6 5 4 3 2 1 4 276444 . 0 462245 . 0 641456 . 0 245018 . 0 3
