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1、 1高雄區96國中資優教育學生獨研究成果發表競賽 作 品 明 書 科 別 : 學 科 作 品 名 稱 : 從GSP看動態幾何之美 -探討正方形完美割術 編 號:A002 b C a 2 壹、摘要 一、 研 究 動 機 : 學師在課堂上用GSP動態幾何軟體，秀出商高定 222 abc +=的正 方形拼圖，讓我們對圖形的拆解組合，產生高的興趣。 二、 研 究 目 的 : 1. 研究商高定(斜邊長平方等於股長的平方和)的正方形割拼圖法, 分析它的組合原。 2. 從圖形的組合規中探討無的存在。 三、 研究過程與方法 : 1. 仔細觀察GSP繪圖下呈現的割圖形變化。 2. 分析 222 abc +=分割
2、圖形組合的原與證明。 3. 運用此對角線的面積重組法延伸探討研究組方格子p、 q面積合併後之分割情形。 4. 由歐幾得著幾何原本引進商高定的證明，比較本主題之研究。四、 研 究 結 果 : 如內容 五、 結 ： 1.對於商高定 222 abc + = 的GSP動態分割圖 ，用綜合證題法全等 性質得到證明。圖中，由組的拆解，根據斜股性質知ABC KBL， AJH KPH，則商高定 222 abc + = 即可成。 2. 將組p、q個的方格子合併，引用GSP動態分割的對角線面積重組法， 則可以拼出一個正方形的條件是 （1）p、q皆為平方，則可改拼成一個正方形 ，每邊長為 p q + 。 （2）p、
3、q為有一為非平方，則無法拼成一個正方形 ，但可拼成其他 的四邊形。 3.從組格子p 、q(平方)的組合拼圖，可拼成一正方形其邊長為 p q + ， 則可清楚明無的存在，如： 2、 5、 8、 10、 13、 17、 18、 20、 26、 29、 32、 34、 37、 40、 41、 45、 50、 52、 53、 58、 61、 65、 68、 72、 73、 74、 80、 82、 85、 89、 90、 97、 98、。 4.本研究的對角線割面積方法與歐幾得著幾何原本對商高定的 證明，頗有曲同工之妙；讓我們體會到學域中，幾何與代之間充滿 著唯妙的關係。 3 貳、研究動機 學師在課堂上用
4、GSP動態幾何軟體，秀出商高定 222 abc +=的正方 形拼圖(如圖一)，讓我們對圖形的拆解組合，產生高的興趣。 b C a 圖一 、研究目的 1.研究商高定(斜邊長平方等於股長的平方和)的正方形割拼圖法,分析 它的組合原。 2.從圖形的組合規中探討無的存在。 肆、研究設備器材 1.使用GSP4.06版繪圖軟體 2.電腦及週邊設備 伍、研究過程 1.仔細觀察GSP繪圖下呈現的割圖形變化： 4a=b時 ab時 圖二 圖三 GSP操作法：將b邊長固定，我們嘗試將a邊長做縮放動作。我們發現：股邊上 的正方形面積，可以恰好割成好幾塊圖形，最後完整的覆蓋在斜邊上的正 方形上面（如圖二），另外在動態變
5、化觀察下，讓我們找到分割圖形的入 點（如圖三），並做進一步的分析。 2.分割圖形的組合分析與證明 b C a 5 C A M L Q K P D E H F G J B N I 圖四 【證明】從上述的動態分割圖中，我們看到：正方形BCDE正方形BCIL， 且正方形ACGF正方形PIJH。故知只要ABC KBL，AJH KPH， 則商高定 222 abc +=即可成。 茲證明：ABC KBL，AJH KPH 在個直角三角形ABC與KBL中， , ABB KB CB L = ， ABC KBL（斜股性質） 同，在個直角三角形AJH與KPH中， , AHK HP HH J = ， AJH KPH（斜
6、股性質） 4.延伸探討-換一個角思考 由於以上的圖形無從計算它們的面積，於是我們將所有圖形繪在格子紙上面 研究，應用前述所發現的對角線的面積重組法。我們發現如下： 6面積1+12 面積1+45 面積1+910 可以割圖形如下： 正方形邊長 2 正方形邊長 5 正方形邊長 10 動態觀察，分析如下： 因為 22 2 112(2 ) += ， 22 2 125(5 ) += ， 22 2 131 0(1 0 ) += ，於是， 我們發現一個找尋無存在的簡單方法。 5. 對對角線的面積重組法，我們仍然產生一個疑問？ 【問題】是否任何組的方格子p、q合併，皆能有這樣的巧妙割重組， 而可以拼出一個正方形
7、，且邊長是一個無？ 7 【結果一】 雖然 1+23 2 (3 )，1+5=2+46 2 (6 )，1+62+53+4 2 (7 ) ， 1+82+73+64+59 2 3 ，2+9=3+8=4+7=5+6=11 2 ( 11) ， 以上方格子圖無法拼成一個正方形，但是他們有其他的分割重組 方式，如下所示： 圖五 在圖五，1+23的分割重組方式，可以改拼成一個平四邊形 ，其四邊長 為 2、 5、 2、 5。 圖 在圖，1+23的分割重組方式，可以改拼成一個 鳶形 ，其四邊長為 2、 2、 5、 5。 【結果二】如果p、q是平方的組合，我們發現能有這樣的巧妙割 重組，而且可以拼出一個正方形，其一邊
8、長為無或有。 如： 22 2 228(8 ) += ， 22 2 231 3(1 3 ) += ， 22 2 141 7(1 7 ) += ， 22 2 331 8(1 8 ) += ， 22 2 242 0(2 0 ) += ， 22 22 342 5(2 5 )5 += =， 22 2 252 9(2 9 ) += ，。 8圖七 圖七， 22 2 231 3(1 3 ) += 的分割重組中，可以改拼成一個 正方形 ，每邊長為 13。 【結果三】綜合以上分析，我們得知：任意個平方p、q個方格子合併，皆 可以改拼成一個正方形 ，每邊長為 pq + 。p、q有一為非平方，則無法 拼成一個正方形
9、，但可以拼成其他的四邊形。茲將面積和100以內的結果詳 成對角線的組合拼圖分析表 ，無法拼成正方形者打 ，如下所示： 對角線的組合拼圖分析表 格子p 、q的組合拼圖 可拼成正方形的邊長( pq + ) p q p+q pq + 1 1 2 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 5 2 3 5 3 3 6 3 4 7 4 4 8 8 3 6 9 9 1 9 10 102 9 11 3 9 12 4 9 13 135 9 14 6 9 15 7 9 16 1 16 17 17 9 9 18 18 4 16 20 20 9 16 25 25 5 1 25 26 264 25 29 2916 16
10、32 32 9 25 34 34 1 36 37 37 4 36 40 40 16 25 41 41 9 36 45 45 25 25 50 50 16 36 52 52 4 49 53 53 9 49 58 58 25 36 61 611 64 65 65 4 64 68 68 36 36 72 729 64 73 73 25 49 74 74 16 64 80 80 1 81 82 82 4 81 85 85 25 64 89 89 9 81 90 90 16 81 97 97 49 49 98 98 10 伍、研究結果 1. 對於商高定 222 abc + = 的GSP動態分割圖 ，用綜
11、合證題法全等 性質得到證明。圖中，由組的拆解，根據斜股性質知ABC KBL， AJH KPH，則商高定 222 abc + = 即可成。 2. 將組p、q個的方格子合併，引用GSP動態分割的對角線面積重組法， 則可以拼出一個正方形的條件是 （1）p、q皆為平方，則可改拼成一個正方形 ，每邊長為 pq + 。 （2）p、q為有一為非平方，則無法拼成一個正方形 ，但可拼成其他 的四邊形。 3. 從組格子p 、q(平方)的組合拼圖，可拼成一正方形，其邊長為 pq + ， 則可清楚明無的存在，如： 2、 5、 8、 10、 13、 17、 18、 20、 26、 29、 32、 34、 37、 40、
12、 41、 45、 50、 52、 53、 58、 61、 65、 68、 72、 73、 74、 80、 82、 85、 89、 90、 97、 98、。 b C a C A M L Q K P D E H F G J B N I 11 、討 對於商高定的證明，我們引用文獻：歐幾得著幾何原本得到證明，解 析如圖八， 欲證明：ABGF面積ACHI面積CBDE面積 圖八 可知 FBC ABD（SAS），又FKC K CK AB BF = ABGF面積BFA B ，FBC面積1/2（BFC K ）1/2（BFA B ） ABGF面積2FBC面積2ABD面積BDNM面積 同可證 ACHI面積MNEC面
13、積 故CBDE面積BDNM面積MNEC面積 ABGF面積ACHI面積 即 22 2 BC AC AB =+ 故得證 這是一個幾何問題，而它的證明是代的，頗為奇。相較於本研究的對角 線割面積方法證明雖與之同，卻有曲同工之妙。 M A B C G F D E I H N K 12 柒、結 1. 對於商高定 222 abc + = 的GSP動態分割圖 ，用綜合證題法全等 性質 得到證明。如下圖中，由組的拆解，根據斜股性質知ABC KBL， AJH KPH，則商高定 222 abc + = 即可成。 2. 將組p、q個的方格子合併，引用GSP動態分割的對角線面積重組法， 則可以拼出一個正方形的條件是
14、（1）p、q皆為平方，則可改拼成一個正方形 ，每邊長為 pq + 。 （2）p、q為有一非為平方，則無法拼成一個正方形 ，但可拼成其他 的四邊形。 3.從組格子p 、q(平方)的組合拼圖，可拼成一正方形，其邊長為 pq + ， 則可清楚明無的存在，如： 2、 5、 8、 10、 13、 17、 18、 20、 26、 29、 32、 34、 37、 40、 41、 45、 50、 52、 53、 58、 61、 65、 68、 72、 73、 74、 80、 82、 85、 89、 90、 97、 98、。 4. 本研究的對角線割面積方法與歐幾得著幾何原本對商高定的 C A M L Q K P D E H F G J B N I
