高3考前大题训练之概率统计(理)

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1、 1 / 12 高三考前大题训练之概率统计（理） 1、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 个作为样本，称出它们的重量 50 （单位：克），重量分组区间为 由此得到样本的重量频率分布直方图（如右 5,15 , 15,25 , 25,35 , 35,45 , 图） （1）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； a （2）从盒子中随机抽取 个小球，其中重量在 内的小球个数为 求 的分布列和数学期望。 （以直方 3 5,15 , X X 图中的频率作为概率） 2、某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女

2、工人，现采用分层抽样方法 （层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核 （1）求从甲、乙两组各抽取的人数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （3）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 3、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 设各车 0.5, 0.3, 主购买保险相互独立（1）求该地 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 种的概率； 1 1（2） 表示该地的 为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 的期望。 X 100 X 2 /

3、 12 4、甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概 率为 乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局 0.6, 0.4, （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。 5、投到某杂志的稿件，先由两位专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位专家都未予 通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审， 则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 复

4、审的稿件能通过评审的概率为 0.5, 各专家独立评审 0.3, （1）求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； （2）记 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 的分布列及期望。 X X 6、从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件。假设事件 “ 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二 : A 等品”的概率 ( ) 0.96 P A （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 ; p （2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 的分布列。 , 3 / 12 7、从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品

5、的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直 方图，质量指标值落在区间 内的频率之比为 55,65 , 65,75 , 75,85 4 : 2 :1 （1）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率； 75,85 （2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 内的产品件数为 求 的分布列与数学期望。 45,75 , X X 8、近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016 年双 11 期间，某网络购物平台推销了 三种商品， , , A B C 某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立

6、，且不 , , A B C 重复抢购同一种商品，对 三件商品抢购成功的概率分别为 已知三件商品都被抢购成功的概 , , A B C 1 , , , 4 a b a b 率为 至少有一件商品被抢购成功的概率为 1 , 24 3 4（1）求 的值； , a b（2）若购物平台准备对抢购成功的 三件商品进行优惠减免 商品抢购成功减免 2 百元 商品抢购成 , , A B C ,A ,B 功减免 4 比百元 商品抢购成功减免 6 百元。求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望。 ,C 质量指标值 0.012 0.004 0.019 0.030 15 25 35 45 55 65 75

7、 85 0 频率 组距 4 / 12 9、某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付 款，其利润为 300 元。 表示经销一件该商品的利润 X （1）求事件 “ 购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 : A ( ); P A （2）求 的分布列及期望 X . EX 10、随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品

8、50 件、三等品 20 件、次品 4 件。 已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元。设 1 件产品的 利润（单位：万元）为 （1）求 的分布列； （2）求 1 件产品的平均利润（即 的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 一等品率提高为 如果此时要求 1 件产品 1%, 70%, 的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？ 5 / 12 11、计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 ( 年入流量： X 一年内上游来水与库区降水之和

9、，单位：亿立方米）都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的 年入流量相互独立 （1）求在未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下关 X 系； 年入流量X 40 80 X 80 120 X 120 X 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损

10、 800 万元，欲 使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 12、根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 （单位：米）的频率分布直方图如下： X 将河流水位在以上 段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 6 （1）求未来三年，至多有 年河流水位 的概率（结果用分数表示）； 1 ) 31 , 27 X （2）该河流对沿河 企业影响如下：当 时，不会造成影响；当 时，损失 元； A ) 27 , 23 X ) 31 , 27 X 10000 当 时，损失 元，为减少损失，现有种应对方案： ) 35 , 31 X 60000方案一：防御 米的最高水位，需要工程费用

11、 元； 35 3800 6 / 12方案二：防御不超过 米的水位，需要工程费用 元； 31 2000方案三：不采取措施； 试比较哪种方案较好，并请说理由。 13、已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患 病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然 后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 （1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数

12、的概率； （2） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望。 14、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以 a 获得 10 000 元的赔偿金。假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立。已知保险 公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 4 10 1 0.999 （1）求一投保人在一年度内出险的概率 ； p （2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保 人应交纳的最低保费（单位：元） 7 / 12 15、某公司为了解用户对其产品的

13、满意度，从 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评 , A B 分如下： 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 A78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 B93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分 散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 8

14、9 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满 意 记事件 地区用户的满意度等级高于 地区用户的满意度等级” 。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据 :“ C A B 所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 的概率。 C 地 A 地 B 4 5 6 7 8 9 9 8 / 12 16、从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图 （1）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代表）； x 2 s （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 其中

15、近似为样本平 Z 2 ( , ), N 均数 近似为样本方差 , x 2 2 s （i）利用该正态分布，求 ； (187.8 212.2) P Z （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 X 的产品件数，利用（i）的结果，求 187.8,212.2 . EX 附： 若 则 150 12.2, Z 2 ( , ), N ( ) 0.6826, P Z ( 2 2 ) 0.9544 P Z 9 / 12 17、从 2016 年 1 月 1 日起，广东、湖北等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化 是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表： 上一年的出险次数 0 1 3 4 次以上（含 次） 5 5 下一年保费倍率 85 100 125 150 175 200 连续两年没有出险打 折，连续三年没有出险打 折 7 6 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的 组数据 （其中 （万元） 8 ( , ) x y x 表示购车价格 （元）表示商业车险保费） ,y : (8, 2150), (11,2400), (18,3140), (25,3750), (25,4000), 设由这 组数据得到的回归直线方程为 (31,4560)