规律探索性问题

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1、规律探索性问题 第一部分 讲解部分 一解题策略和解法精讲 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的 问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、 猜想来探索规律它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题 能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力题型可涉及填空、选择或解 答。 二考点精讲 考点一：数与式变化规律 通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一 般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各 部分的特征，改写成要求

2、的规律的形式。 例 1. 有一组数： ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 1 3 , 2 5 5 7 9 , , 10 17 26 L n（n为正整数）个数为 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的此 题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加 1 举一反三 1（2016辽宁丹东3 分）观察下列数据：2， ， ， ， ，它们是按 一定规律排列的，依照此规律，第 11个数据是 考点二：点阵变化规律 在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化， 变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变

3、化规律 是此类题目中的难点 例 2观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规 律，猜想第 n个点阵中的点的个数 s 为（ ）A.3n2 B.3n1 C.4n+1 D.4n3举一反三 2（2016四川内江）将一些半径相同的小圆按如图 5所示的规律摆放，请仔细观 察，第 n个图形有_个小圆(用含 n的代数式表示) 第 1个图 第 2个图 第 3个图 第 4个图 图 5 答案 n 2 n4 考点三：循环排列规律 循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几 个图案就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。 例 3：（200

4、7广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第 2007个图形是（ ） A B C D 点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力对于找规律的题目首 先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的通过分析找到各部分的变化规律后 直接利用规律求解 举一反三 3：下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察， 在前 2012个梅花图案中，共有 个“ ”图案 考点四：图形生长变化规律 探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂. 从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人 的兴趣,努力揭示内在的奥

5、秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论. 典例 4（2016贵州安顺4 分）观察下列砌钢管的横截面图： 则第 n个图的钢管数是 （用含 n的式子表示） 举一反三 4（2016湖北荆州3 分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增 加 1的规律拼成下列图案，若第 n个图案中有 2017个白色纸片，则 n的值为（ ） A671 B672 C673 D674 【总结】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：从第一个数起，认真观 察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；利用方程来解决问 题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个

6、数为突破口，找出 其规律，得出结论 考点五 坐标的变化规律 典例 5（2016山东省德州市4 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y=2x 和 y= x 的图象分 别为直线 l 1 ，l 2 ，过点（1，0）作 x轴的垂线交 l 2 于点 A 1 ，过点 A 1 作 y轴的垂线交 l 2 于点 A 2 ，过点 A 2 作 x轴的垂线交 l 2 于点 A 3 ，过点 A 3 作 y轴的垂线交 l 2 于点 A 4 ，依次进行下 去，则点 A 2017 的坐标为 （2 1008 ，2 1009 ） 举一反三 5（2016山东潍坊3 分）在平面直角坐标系中，直线 l：y=x1 与 x轴交于点 A 1

7、 ， 如图所示依次作正方形 A 1 B 1 C 1 O、正方形 A 2 B 2 C 2 C 1 、正方形 A n B n C n C n1 ，使得点 A 1 、A 2 、A 3 、在直线 l 上，点 C 1 、C 2 、C 3 、在 y轴正半轴上，则点 B n 的坐标是 （2 n1 ，2 n 1） 第二部分 练习部分 1、 （2016广西百色3 分）观察下列各式的规律： （ab） （a+b）=a 2 b 2 （ab） （a 2 +ab+b 2 ）=a 3 b 3 （ab） （a 3 +a 2 b+ab 2 +b 3 ）=a 4 b 4 可得到（ab） （a 2016 +a 2015 b+ab

8、2015 +b 2016 ）= 2、 （2016山东省滨州市4 分）观察下列式子： 13+1=2 2 ； 79+1=8 2 ； 2527+1=26 2 ； 7981+1=80 2 ； 可猜想第 2016个式子为 3、 （2016山东省东营市4 分）在求 133 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 的值时，张红发现： 从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 3倍，于是她假设： S133 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8，然后在式的两边都乘以 3，得： 3S33 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9， 一得：3SS3 9 1，即 2S3 9

9、 1， S . 391 2 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 m（m0 且 m1） ，能否求出 1mm 2 m 3 m 4 m 2016 的值？如能求出，其正确答案是_. 4、 按一定规律排列的一列数： ，1，1， ， ， ，请你仔细观察，按照此规律 方框内的数字应为 5、 （2016湖北黄石3 分）观察下列等式： 第 1个等式：a 1 = = 1， 第 2个等式：a 2 = = ， 第 3个等式：a 3 = =2 ， 第 4个等式：a 4 = = 2， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第 n个等式：a n = = ； （2）a 1 +a 2 +a 3 +a n =

10、。6、 （2016四川内江）一组正方形按如图 3所示的方式放置，其中顶点 B 1 在 y 轴上，顶点 C 1 ，E 1 ，E 2 ，C 2 ，E 3 ，E 4 ，C 3 在 x 轴上，已知正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 的边长为 1，B 1 C 1 O60，B 1 C 1 B 2 C 2 B 3 C 3 则正方形 A 2016 B 2016 C 2016 D 2016 的边长是( ) A( ) 2015B( ) 2016C( ) 2016D( ) 2015 1 2 1 2 3 3 3 3 x O y C 1 D 1 A 1 B 1 E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2

11、 B 2 C 3 D 3 A 3 B 3 图 3 7、 （2016黑龙江龙东3 分）如图，等边三角形的顶点 A（1，1） 、B（3，1） ，规定把等边 ABC“先沿 x轴翻折，再向左平移 1个单位”为一次変换，如果这样连续经过 2016次变换后， 等边ABC 的顶点 C 的坐标为 8. （2016黑龙江齐齐哈尔3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOCB 的两边 OA、OC 分别在 x轴和 y轴上，且 OA=2，OC=1在第二象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中 心放大为原来的 倍，得到矩形 A 1 OC 1 B 1 ，再将矩形 A 1 OC 1 B 1 以原点 O 为位似中心放

12、大 倍， 得到矩形 A 2 OC 2 B 2 ，以此类推，得到的矩形 A n OC n B n 的对角线交点的坐标为 典例 举一反三 2解析每个图由外围的 4个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽 第 1个图中小圆的个数124， 第 2个图中小圆的个数234， 第 3个图中小圆的个数344，第 n个图中小圆的个数n(n1)4n 2 n4 故答案为：n 2 n4 举一反三 3解：第 1个图案中白色纸片有 4=1+13 张； 第 2个图案中白色纸片有 7=1+23 张； 第 3个图案中白色纸片有 10=1+33 张； 第 n个图案中白色纸片有 1+n3=3n+1（张） ， 根据题意得：3

13、n+1=2017，解得：n=672， 典例 4【考点】规律型：数字的变化类 【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层 层数的平方，那么只要知道 2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知： 44 2 201645 2 ，则 2016在第 44层 典例 5【解答】解：观察，发现规律：A 1 （1，2），A 2 （2，2），A 3 （2，4）， A 4 （4，4），A 5 （4，8）， A 2n+1 （2） n ，2（2） n ）（n为自然数） 2017=10082+1，A 2017 的坐标为（2） 1008 ，2（2） 1008 ）=（2 1008 ，2

14、 1009 ） 故答案为：（2 1008 ，2 1009 ） 总结. 3+1 2 ，6+2 2 ，10+3 2 ，15+4 2 ，总结出其规律为 +n 2练习部分 1. a 2017 b 2017 2【解答】解：观察发现，第 n个等式可以表示为：（3 n 2）3 n +1=（3 n 1） 2 ， 当 n=2016 时，（3 2016 2）3 2016 +1=（3 2016 1） 2 ， 3.S m2017 1 m 1 4 【分析】把整数 1化为 ，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解 5 1 6易知B 2 C 2 E 2 C 1 D 1 E 1 ， 30 2 2 1 1 B C

15、 C D 2 2 1 1 B E C E 1 1 1 1 D E C E tan B 2 C 2 C 1 D 1 30 C 2 D 2 tan 3 3 3 3 同理，B 3 C 3 C 2 D 2 30( ) 2 ； tan 3 3 由此猜想 B n C n ( ) n1 当 n2016时，B 2016 C 2016 ( ) 2015 3 3 3 3 7解：ABC 是等边三角形 AB=31= 2， 点 C 到 x轴的距离为 1+2 = +1，横坐标为 2，A（2， +1） ， 第 2016次变换后的三角形在 x轴上方， 点 A 的纵坐标为 +1，横坐标为 2-20161=-2014， 所以，点 A 的对应点 A的坐标是(-2014， +1) 8【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质