《2016-2017届高中数学 第二章 推理与证明章末高效整合 新人教a版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017届高中数学 第二章 推理与证明章末高效整合 新人教a版选修1-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第二章 推理与证明 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1下列表述正确的是( ) 归纳推理是由部分到整体的推理； 归纳推理是由一般到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D 解析： 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊 的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确 答案： D 2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列 一些性质，你认为比较恰当的是( ) 各棱长相等，同一顶点上的
2、任两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A B C D 解析： 比较恰当的是，而中边对面时，内角应对应面面所成的角 答案： B 3已知ABC中，A30，B60，求证ab.证明：A30， B60，AB，ab，画线部分是演绎推理的( ) A大前提 B小前提 C结论 D三段论 解析： 由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为： AB；结论为ab.故选B. 答案： B 4观察式子：1 ，1 ，1 ，则可归纳出一般式 1 22 3 2 1 22 1 32 5 3 1 22 1 32 1
3、 42 7 42 子为( ) A. 1 (n2) 1 22 1 32 1 n2 1 2n1 B. 1 (n2) 1 22 1 32 1 n2 2n1 n C. 1 (n2) 1 22 1 32 1 n2 2n1 n D. 1 (n2) 1 22 1 32 1 n2 2n 2n1 解析： 由合情推理可得 答案： C 5有一段“三段论” ，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x 0 )0，那么 xx 0 是函数f(x)的极值点，因为f(x)x 3 在x0处的导数值f(0)0，所以x0是 函数f(x)x 3 的极值点以上推理中( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确 解
4、析： 在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误， 也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可 导函数f(x)，如果f(x 0 )0，那么xx 0 是函数f(x)的极值点” ，不难得到结论因为 大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f(x 0 )0，那么xx 0 是函数f(x)的极值点” ， 不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f(x 0 )0，且满足当xx 0 时和当xx 0 时的 导函数值异号，那么xx 0 是函数f(x)的极值点，所以大前提错误 答案： A 6用反证法证明“方程ax 2 bxc0(a0)至多有两个解”的假设中
5、，正确的是( ) A至多有一个解 B有且只有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解 解析： “至多n个”的反设应为“至少n1个” 故选C. 答案： C 7若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的： abba；(ab)ca(bc)；若abbc，b0，则ac0；若ab0，则a0 或b0. 对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论： abba； (ab)ca(bc)； 若abbc，b0，则ac；3 若ab0，则a0或b0. 其中结论正确的有( ) A0个 B1个 C2个 D3个 解析： 利用类比思想结合向量的定义及性质，特别是向量的数量积的定义可知正 确，不正确 答案： B 8已知x0
6、，不等式x 2，x 3，x 4，可推广为x n1， 1 x 4 x2 27 x3 a xn 则a的值为( ) An 2 Bn n C2 n D2 2n2 解析： 由x 2，x x 3，x x 4，可推广为 1 x 4 x2 22 x2 27 x3 33 x3 x n1，故an n . nn xn 答案： B 9分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设abc，且abc0，求证： a”最终的索因应是( ) b2ac 3 Aab0 Bac0 C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0 解析： 要证 a b2ac 3 只需证b 2 ac3a 2 abc0，bac 只需证(ac) 2 ac3a 2
7、只需证(ca)(c2a)0 只需证(ca)(cabc)0 只需证(ca)(ab)0 只需证(ab)(ac)0 故选C. 答案： C 10命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比 为21，类比可得在四面体中，顶点与所对面的_连线所得四线段交于一点，且分 线段比为_( ) A重心 31 B垂心 314 C内心 21 D外心 21 解析： 由四面体的性质可得结论为A. 答案： A 11古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如： 他们研究过(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形 数；类似地，(2)中的1,4,9,16，这样的数称为
8、正方形数下列数中既是三角形数又 是正方形数的是( ) A289 B1 024 C1 225 D1 378 解析： 由图形可得三角形数构成的数列通项a n (n1)，正方形数构成的数列通 n 2 项b n n 2 ，则由b n n 2 (nN * )可排除D.又由a n (n1)，当a n 289时，即验证是否存 n 2 在nN * ，使得n(n1)578，经计算n不存在；同理，依次验证，有1 22524950，且35 2 1 225，故选C. 答案： C 12有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手， 甲说：“是乙或丙获奖” ，乙说：“甲、丙都未获奖” ，丙说：“
9、我获奖了” ，丁说：“是乙 获奖了” ，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 解析： 若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、 丁都说真话，丙说假话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则甲、丙、丁都说假话，乙说 真话，不符合题意，故获奖的歌手是丙 答案： C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确的答案填在题中的横 线上) 13 “因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分 ”以上推理的5 大前提是_ 答案： 菱形的对角线互相垂直且平分 14已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，
10、在用反证法证明时， 假设应为_ 解析： “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1” ，亦即“x1 且y1” 答案： x，y均不大于1(或者x1且y1) 15观察下列不等式 1 ， 1 22 3 2 1 ， 1 22 1 32 5 3 1 ， 1 22 1 32 1 42 7 4 照此规律，第五个不等式为_ 解析： 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个 不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即 为所对应项数，故应填1 . 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 11 6 答案： 1 1 22 1 32
11、1 42 1 52 1 62 11 6 16观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有_个小正方形 解析： 第1个图中有3个小正方形，第2个有336个小正方形，第3个有 6410个小正方形，第4个图形有10515个小正方形，第5个图形有15621个 小正方形，第6个图形中有21728个小正方形 答案： 28 三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题满分12分)当a，b为正数时，求证： . ab 2 ab 证明： 因为一个实数的平方是非负数，而 2 是一个实数的平方， ab 2 ab ( a 2 b 2 )6 所以 是非负数，即
12、0，所以 . ab 2 ab ab 2 ab ab 2 ab 18(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的 结论是否成立 (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行 解析： (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相 交 结论是正确的，证明如下：设，且a，则必有b，若与 不相交，则必有. 又，与a矛盾，必有b. (2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错 误的，这两个平面也可能相交 19(本小题满分12分)已知|x|1
13、，|y|1，用分析法证明：|xy|1xy|. 证明： 要证|xy|1xy|， 即证(xy) 2 (1xy) 2 ， 即证x 2 y 2 1x 2 y 2 ，即证(x 2 1)(1y 2 )0， 因为|x|1，|y|1，所以x 2 10,1y 2 0， 所以(x 2 1)(1y 2 )0，不等式得证 20(本小题满分12分)已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证： ， 1 a ， 不能构成等差数列 1 b 1 c 证明： 假设 ， 能构成等差数列，则 ， 1 a 1 b 1 c 2 b 1 a 1 c 因此b(ac)2ac. 而由于a，b，c构成等差数列可得2bac， (ac) 2
14、 4ac，即(ac) 2 0，于是得abc， 这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾 故假设不成立，即 ， 不能构成等差数列 1 a 1 b 1 c 21(本小题满分13分)ABC中，三边a，b，c成等比数列求证： acos 2 ccos 2 b. C 2 A 2 3 2 证明： a，b，c成等比数列， b 2 ac.7 acos 2 ccos 2 C 2 A 2 a1cos C 2 c1cos A 2 (ac) (acos Cccos A) 1 2 1 2 (ac) 1 2 1 2 ( a a2b2c2 2ab c b2c2a2 2bc ) (ac) b b b. 1 2 1 2 ac b 2 b 2 3 2 acos 2 ccos 2 b. C 2 A 2 3 2 22(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同 一个常数： sin 2 13cos 2 17sin 13
