二次函数压轴题专题

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1、 二次函数压轴题专题 26. （2014 益阳，第 20 题，10 分）如图，直线y=3x+3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B， 抛物线y=a（x 2） 2 +k 经过点A、B ，并与X 轴交于另一点C，其顶点为P （1）求a，k 的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐 标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形， 求此正方形的边长 （第 3 题图） 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先求出直线y=3x+3 与x 轴交点A，与y 轴交点B 的坐标，再将A、B 两点坐 标代入y=a（

2、x 2） 2 +k ，得到关于a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设Q 点的坐标为（2，m ） ，对称轴x=2 交x 轴于点F，过点B 作BE 垂直于直 线x=2 于点E 在RtAQF 与RtBQE 中，用勾股定理分别表示出 AQ 2 =AF 2 +QF 2 =1+m 2 ，BQ 2 =BE 2 +EQ 2 =4+（3m ） 2 ，由AQ=BQ，得到方程 1+m 2 =4+（3m ） 2 ，解方程求出m=2，即可求得Q 点的坐标； （3）当点N 在对称轴上时，由NC 与AC 不垂直，得出AC 为正方形的对角线，根 据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M 点与顶点P（2，1）重合

3、，N 点为点 P 关于x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC MN，则四边形AMCN 为 正方形，在RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长 解答： 解：（1）直线y=3x+3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B， A （1 ，0） ，B（0，3） 又抛物线抛物线y=a（x 2） 2 +k 经过点A（1，0） ，B （0，3） ， ，解得 ， 故a，k 的值分别为 1，1； （2）设Q 点的坐标为（2，m ） ，对称轴x=2 交x 轴于点F，过点B 作BE 垂直于直 线x=2 于点E 在Rt AQF 中，AQ 2 =AF 2 +QF 2 =1+m 2 ， 在Rt BQE

4、中，BQ 2 =BE 2 +EQ 2 =4+（3m ） 2 ， AQ=BQ， 1+m 2 =4+（3m ） 2 ， m=2 ， Q 点的坐标为（2，2） ； （3）当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直，所以AC 应为正方形的对角线 又对称轴x=2 是AC 的中垂线， M 点与顶点P（2，1）重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为 （2，1） 此时，MF=NF=AF=CF=1 ，且AC MN， 四边形AMCN 为正方形 在Rt AFN 中，AN= = ，即正方形的边长为 34.（2014 德州，第 24 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0） ， 并

5、且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B ，C 三点的抛物线上 （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合 条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D，过点D 作y 轴的垂线垂足 为F，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标 考点： 二次函数综合题 分析： （1）根据A 的坐标，即可求得OA 的长，则B、C 的坐标即可求得，然后利用待定 系数法即可求得函数的解析式； （2）分点A 为直角顶点时，和C 的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列 方

6、程求解； （3）据垂线段最短，可得当OD AC 时，OD 最短，即EF 最短，根据等腰三角形 的性质，D 是AC 的中点，则DF= OC，即可求得P 的纵坐标，代入二次函数的解 析式，即可求得横坐标，得到P 的坐标 解答： 解：（1）由A（4，0） ，可知OA=4， OA=OC=4OB ， OA=OC=4 ，OB=1， C （0，4） ，B（1，0） 设抛物线的解析式是y=ax 2 +bx+x， 则 ，解得： ， 则抛物线的解析式是：y=x 2 +3x+4； （2）存在 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1 AC，交抛物线于点P 1 过点 P 1 作y 轴的垂线，垂足是M AC

7、P 1 =90， MCP 1 + ACO=90 ACO+OAC=90 ， MCP 1 = OAC OA=OC， MCP 1 = OAC=45 ， MCP 1 = MP 1 C ， MC=MP 1 ， 设P （m，m 2 +3m+4 ） ，则m=m 2 +3m+44， 解得：m 1 =0（舍去） ，m 2 =2 m 2 +3m+4=6， 即P （2 ，6） 第二种情况，当点A 为直角顶点时，过A 作AP 2 ，AC 交抛物线于点P 2 ，过点P 2 作 y 轴的垂线，垂足是N ，AP 交y 轴于点F P 2 N x 轴， 由CAO=45 ， OAP=45， FP 2 N=45，AO=OF P 2

8、 N=NF， 设P 2 （n，n 2 +3n+4 ） ，则n=（n 2 +3n+4）1， 解得：n 1 =2，n 2 =4 （舍去） ， n 2 +3n+4= 6，则P 2 的坐标是（2，6） 综上所述，P 的坐标是（2，6）或（2，6） ； （3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF 根据垂线段最短，可得当OD AC 时，OD 最短，即EF 最短 由（1）可知，在直角AOC 中，OC=OA=4， 则AC= =4 ， 根据等腰三角形的性质，D 是AC 的中点 又DF OC， DF= OC=2 ， 点P 的纵坐标是 2 则x 2 +3x+1=2 ， 解得：x= ， 当EF

9、 最短时，点P 的坐标是：（ ，0）或（ ，0） 二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象经过点（1，4） ，且与直线y= x+1 相交于A、B 两点（如 图） ，A 点在y 轴上，过点B 作BCx 轴，垂足为点C （3，0） （1）求二次函数的表达式； （2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方） ，过N 作NPx 轴，垂足为点 P，交AB 于点M ，求MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足 条件的N 点的坐标解：（1）由题设可知A（0，1） ，B（3， ） ， 根据题意得： ，解得： ， 则二次函数的解析式是：y=

10、x+1； （2）设N（x， x 2 x+1 ） ，则M、P 点的坐标分别是（x， x+1 ） ， （x ，0） MN=PN PM= x 2 x+1（ x+1）= x 2 x= （x+ ） 2 + ， 则当x= 时，MN 的最大值为 ； （3）连接MN、BN 、BM 与NC 互相垂直平分， 即四边形BCMN 是菱形，由于BC MN，即MN=BC，且BC=MC， 即 x 2 x= ，且（ x+1 ） 2 +（x+3） 2 = ，解得：x=1， 故当N（1，4）时，MN 和NC 互相垂直平分 16 （2014四川广安,第26 题10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2 +bx+3 与

11、 x 轴交于点 A（4，0） ，B（1，0）两点 （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限的抛物线上有一动点 D 如图（1） ，若四边形 ODAE 是以 OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形 ODAE 的面 积为 6 时，请判断平行四边形 ODAE 是否为菱形？说明理由 如图（2） ，直线 y=x+3 与抛物线交于点 Q、C 两点，过点 D 作直线 DFx 轴于点 H，交 QC 于点 F请问是否存在这样的点 D，使点 D 到直线 CQ 的距离与点 C 到直线 DF 的距离 之比为 ：2？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题 分析： （1）利用待定系数法

12、求出抛物线的解析式； （2）本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析如答图 21，作辅助线， 求出点 D 的坐标，进而判断平行四边形 ODAE 是否为菱形； 本问为存在型问题如答图 22，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列 出一元二次方程，求得点 D 的坐标 解答： 解：（1）把点 A（4，0） 、B（1，0）代入解析式 y=ax 2 +bx+3， 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为：y=x 2 + x+3 （2）如答图 21，过点 D 作 DH x 轴于点 H S ODAE =6，OA=4， S AOD =OADH=3， DH= 因为 D 在第三象限，所以 D 的纵坐标为负，且 D 在

13、抛物线上， x 2 + x+3=，解得：x 1 =2，x 2 = 3 点 D 坐标为（2，）或（3，） 当点 D 为（2，）时，DH 垂直平分 OA，平行四边形 ODAE 为菱形； 当点 D 为（3，）时，ODAD，平行四边形 ODAE 不为菱形 假设存在 如答图 22，过点 D 作 DM CQ 于 M，过点 C 作 CNDF 于 N，则 DM：CN= ：2 设 D（m， m 2 + m+3） （m 0） ，则 F （m ， m+3） CN= m ，NF= m CF= = m DMF= CNF=90 ，DFM=CFN， DMF CNF ， ， DF= CF= m DN=NF+DF=mm=m 又

14、 DN=3 （m 2 + m+3 ）=m 2 m ， m 2 m=m 解得：m= 或 m=0 （舍去） m 2 + m+3= D（，） 综上所述，存在满足条件的点 D ，点 D 的坐标为（，） 20 （2014重庆 A,第 25 题12 分）如图，抛物线 y=x 2 2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C ，点 D 为抛物线的顶点 （1）求 A、B 、C 的坐标； （2）点 M 为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ AB 交

15、抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴 于点 N若点 P 在点 Q 左边，当矩形 PQMN 的周长最大时，求AEM 的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ 过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方） 若 FG=2 DQ，求点 F 的坐 标 解答： 解：（1）由抛物线 y=x 2 2x+3 可知，C （0，3） ， 令 y=0，则 0=x 2 2x+3，解得 x=3 或 x=1， A（ 3，0） ，B（1，0） （2）由抛物线 y=x 2 2x+3 可知，对称轴为 x=1， 设 M 点的横坐标为 m ，则 PM= m 2 2m+3，MN=（m 1）2=2m2， 矩形 PMNQ 的周长=2（PM+MN）=（m 2 2m+3 2m 2）2=2m 2 8m+2=2（m+2） 2 +10 ， 当 m= 2 时矩形的周长最大 A（ 3，0） ，C（0，3） ，设直线 AC 解析式为；y=kx+