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1、 http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校 第 1 页 共 6 页 高考必备理科数学知识网络构建 高考到底考什么 第四章 三角函数 网络构架 已知三角 函数求角 应用 的图像与性质 函数 正切 函数的图 像与性质 性质 正、 余弦函数 的图像与 图像 与性 质 三角 函数 的 证明 求值 化简 应用 正切 公式 正弦 、余弦、 二倍 角的 正切 公式 正弦 、余弦、 两角 和与差的 三角 函数 与差 的 两角 和 正弦 、余弦的 诱导公 式 公式 三角 倒数 关系 商数 关系 平方 关系 的基 本关系式 同角 三角 函数 符号 三角 函数值在各象限的 三角 函数线 义 任意 角的三角函数的定
2、任意 角的 三角函 数 ， 弧长 和扇形面 积公式 角度 与弧度的 计算 定义 弧度 制 终边 相同的角 零角 负角 正角 念的推广 角的 概 概念 函数 三角 ) sin( tan 1 tan 2 2 tan sin cos 2 cos cos sin 2 2 sin tan tan 1 tan tan ) tan( sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin( 1 cot tan : cos sin tan : 1 cos sin : 2 2 : 2 2 2 2 2 2 x A y R lR S R l m m http:/ 快乐学习，尽在苏州
3、中学网校 第 2 页 共 6 页 表 1： 三角函数的图像与性质 函数 x y sin x y cos x y tan 图像 定义域 R R ) ( 2 | Z k k x R x x 且 值域 1，1 1，1 R 周期性 周期为 2 周期为 2 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 k k 2 2 2 2 ， 上都是增函数（kZ） 在 k k 2 2 3 2 2 ， 上都是减函数（kZ） 在 上 k k 2 ) 1 2 ( ， 都是增函数（kZ）在 上都 ) 1 2 ( 2 k k ， 是减函数（kZ） 在 上 ) 2 2 ( k k ， 都是增函数（kZ） 表 2： 由三角恒
4、等式派生的公式：由基本公式经过简单推导，得出一系列的公式，谓之派生公式， 在恒等变形中使用这些派生公式，可使解题过程简化，常用的有 1. ) 4 cos( 2 ) 4 sin( 2 cos sin m http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校 第 3 页 共 6 页 2. 2 sin 2 csc sec cot tan 3. 2 cot 2 cot tan 4. cos cos ) sin( tan tan 5. sin sin ) sin( cot cot 6. 2 2 sin sin ) sin( ) sin( 7. 2 2 sin cos ) cos( ) cos( 8. 2 sin 1
5、 ) cos (sin 2 9. 2 tan 2 tan sin sin sin sin 10. cos 1 sin 2 tan 2 tan 2 cos 2 sin cos cos sin sin ， 11. ) 2 4 ( cos 2 sin 1 2 cos 2 cos 1 2 2 ， 12. ， 2 sin 2 cos 1 2 ) 2 4 ( sin 2 sin 1 2 13. ，其中 ) sin( cos sin 2 2 b a b a 2 2 2 2 sin cos b a b b a a ， 网络导读 http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校 第 4 页 共 6 页 近几年高考降低了
6、对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数图像与性质的考查，因为函数 的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决实际生产问 题的工具，充分运用数形结合思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数的性质， 或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时利用函数性质来描绘函数的图像，这 既有利于掌握图像与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 易错指导 易错点 1：单位圆中的三角函数线在解题中一方面容易被遗忘，应用意识不强，另一方面易将 角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 易错点 2：根据已知条件确定角的
7、大小，没有通过确定角的三角函数值再求解的意识或确定角 的三角函数名称不适当而造成错解，易忘关于 sin 和 cos 齐次式的处理方法，在利用三角函数 图像变换中的周期变换和相位变换解题时，易将 和 求错。 易错点 3：对正弦函数 及余弦函数 的图像，对称轴、对 ) sin( x A y ) cos( x A y 称中心理解不到位，造成解题错误或思维受阻。 易错点 4：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽 视三角形解的个数，三角形中的三角函数问题，对三角变换同三角形边、角之间知识的结合综合应 用程度不够，没有挖掘题目中的隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解
8、现象。 【真题】 （06辽宁）已知函数 ，则 的值域 | cos sin | 2 1 ) cos (sin 2 1 ) ( x x x x x f ) (x f 是 A 1，1 B ，1 2 2 C 1， D 1， 2 2 2 2 【解析】由 | cos sin | 2 1 ) cos (sin 2 1 ) ( x x x x x f 得， ，其图像如图 21 ) sin (cos sin ) cos (sin cos ) ( x x x x x x x f ， ， 1 所示， 由图像可得，函数 的值域是 ，故选 C。 ) (x f 2 2 1 ，【点评】数形结合法是解三角不等式的最佳工具，作
9、图过程中要能够将两曲线的交点以及各函 http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校 第 5 页 共 6 页 数的特征描述清楚，明确题目条件，作图错误是值域求错的原因之一，应用单位圆中的三角函数线， 也可以简化，但平时练习中应用少，使考生应用意识不强，作图易出错，应用三角函数图像的叠加 可以更为形象地解决此类问题。 【真题】 （06湖北）设函数 ，其中向量 ， ) ( ) ( c b a x f ) cos (sin x x a ， 。 R x x x c x x b ， ， ， ， ) sin cos ( ) cos 3 (sin （1）求函数 的最大值和最小正周期； ) (x f （2）将函数
10、的图像按向量 d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称， ) (x f y 求长度最小的 d。 【解析】 （1）由题意得 ) cos 3 sin cos (sin ) cos (sin ) ( ) ( x x x x x x c b a x f ， ，) 4 3 2 sin( 2 2 2 sin 2 cos 2 cos 3 cos sin 2 sin 2 2 x x x x x x x 故 的最大值为 ，最小正周期是 。 ) (x f 2 2 2 2 （2）由 得 ，即 0 ) 4 3 2 sin( x k x 4 3 2 Z k k x ， 8 3 2 于是 Z k k d k d
11、 ， ， ， 4 ) 8 3 2 ( | | ) 2 2 8 3 ( 2 因为 k 为整数，要使|d| 最小，则只有 k=1 ，此时 即为所求。 ) 2 8 ( ， d 【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基 本知识，考查推理和运算能力。解题中，有些考生对于对称轴、对称中心理解不到位，造成解题错 误或思维受阻，或将平移方向搞错，使平移后得到的解析式错误。 【真题】 （06四川）已知 A 、B 、C 是ABC 三内角，向量 ， ) 3 1 ( ， m ，且 mn=1。 ) sin (cos A A n ， http:/ 快乐学习，尽在苏州中学网校 第
12、6 页 共 6 页 （1）求角 A ； （2）若 ，求 。 3 sin cos 2 sin 1 2 2 B B B B tan 【解析】 （1） 1 ) sin (cos ) 3 1 ( 1 A A n m ， ， ， Q 即 2 1 ) 6 sin( 1 ) 2 1 cos 2 3 (sin 2 1 cos sin 3 A A A A A ， ， ， 。 。 6 5 6 6 0 A A ， Q 6 6 A 3 A （2）由题知 ，整理得 3 sin cos cos sin 2 1 2 2 B B B B 0 cos 2 cos sin sin 2 2 B B B B 。 或 。 0 2 tan tan 0 cos 2 B B B ， Q
