6。4数列应用例子16-17

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1、课题名称 64数列的实际应用 授课班级 授课时间 14中专 课题序号 2 授课课时 第 16 到17 授课形式 讲练结合启发式、分组教 学以及讲练结合 使用教具 网络教室，课件 教学目的 .通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题,体会等差数 列、等比数列知识在现实生活中的应用. 2.通过具体问题情境,主动思考,互相交流,共同讨论,总结概括,发现并建立等差、等比数列 这个数学模型,会利用它解决一些存款问题,感受等差、等比数列的广泛应用. 3.通过本节学习,让学生感受生活中处处有数学,从而激发学习的积极性,提高数学学习的兴 趣和信心. 教学重点 建立“零存整取”“

2、定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题. 教学难点 建模判断在实际问题情境中,发现并建立以上三个模型. 更新、补 充、删减 内容 课外作业 P59.3 授课主要内 容或板书设 计 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型,在科学技术和日常生活中有着广 泛的应用.例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. 著名的马尔萨斯人口论,把粮食增长喻为等差数列,而把人口增长喻为等比数列、这些科学 事实和生活实例,都有助于我们认识和理解数列知识.教材对本内容的编排上以问题及其解决为主线,既充分考虑能调动学生进行自主学习, 体验数学在解决实际问题中的价

3、值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综 合运用知识和方法建立数学模型、解决实际问题的全部过程.又充分注意教材应适用于研 究性学习的特点,使其能较方便于教师组织学生课外学习.因此,整体性、问题性、逻辑性、 实际性、综合性、可操作性是本教材追求的特色,而问题性突出则是本节教材追求的亮点.银行存款是老百姓日常生活中最基本的经济活动,银行存款计息方式有两种:单利和复 利,它们分别以等差数列和等比数列为数学模型.教材共安排了三个模型,教学时教师可自 己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题,以更适合学生的使用,并根据 所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略. 教学后记 让学

4、生参与课堂有必要主 要 教 学 内 容 及 步 骤 教学过程 师生活动 设计意图等 导入新课 思路 1.(趣味导入)一位中国老太太与一位美国老太太相遇.美国老太 太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行 的住房贷款;而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把 买房的钱攒足.教师进一步指出:我国现代都市人的消费观念正在变 迁,花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生,许多年轻人过起了名 副其实的“负翁”生活,贷款购物,分期付款已深入我们的生活.但是面 对商家和银行提供的各种分期付款服务,我们究竟选择什么样的方式 好呢?由此展开今天的新课. 思路 2.(问题导入)职员王某

5、现在每月可以拿出 500元存入银行,他想 把这笔钱作为儿子三年后读大学的费用,那么他以什么方式存款收益 最大?以此为切口导入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 银行存款中的单利计息是怎样计算利息的? 银行存款中的复利计息是怎样计算利息的? 教育储蓄的方式是怎样的?其利息怎样进行计算? 活动:银行存款计息方式为单利和复利两种.单利的计算是仅在原本 金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本 金利率存期.以符号 p代表本金,n代表存期,r 代表利率,s 代表本金 和利息和(即本利和),则有 s=p(1+nr).复利是把上期末的本利和作为下 一期的本金,在计算时每一期本金的数

6、额是不同的.复利的计算公式 是:s=p(1+r) n .教育储蓄是 2000年我国推出的一种新的储蓄方式,意在鼓励城 乡居民以储蓄方式为子女教育积累资金,支持国家教育事业的发展. 该储种储户特定,存期分别为 1年、3年和 6年.以零存整取的方式存 入资金,以相对应年限同档次的整存整取的利率计付利息,利息免税. 其起存金额最低为 50元,本金合计最高限额为 2万元,允许两次存足 限额,即可约定每次最多存入 1万元,到期一次性支取本息.由于存期 灵活,存额变化大,人们可以选择各种教育储蓄方案.例如选择月存金额 5 000元,存期 3年,年利率为 2.52%的教育储 蓄方案.即每月一次将 5 000

7、元存入银行,连续存 4次,到 3年期满后 一次性支付本息.在这里,第一次存入的 5 000元将经过 36个月的生 息时间,第二次存入的 5 000元将经过 35个月的生息时间;依次下去, 第三次、第四次存款分别将经过 34、33个月的生息时间.根据教育 储蓄规定,这种方案能获得的利息是 5 000(2.52%12)36+5 000(2.52%12)35+5 000(2.52%12)34+5 000(2.52%12)33=5 000(2.52%12)(36+35+34+33)=1 449(元).这实际上是一个等差数列求和的计算,最后本利和是 5 0004+1 449=21 449(元).教育储蓄

8、在存款约定额度及选定存期上有一定技巧,运用得当,将使 我们得到更多的实惠. 讨论结果: 略. 应用示例 例 1 零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月 定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部 本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税). (1)若每月存入金额为 x元,月利率 r 保持不变,存期为 n个月,试推导 出到期整取时本利和的公式; (2)若每月初存入 500元,月利率为 0.3%,到第 36个月末整取时的本 利和是多少? (3)若每月初存入一定金额,月利率是 0.3%,希望到第 12个月末整取 时取得本利和 2 000元.那么每

9、月初应存入的金额是多少? 活动:这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型.这里的“零存整取”是 每月存入相同的 x元,到期所获的利息组成一个等差数列. 解:(1)根据题意,第 1个月存入的 x元,到期利息为 xrn;第 2个月存 入的 x元,到期利息为 xr(n-1)元第 n个月存入的 x元,到期利息 为 xr 元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题. 各月利息之和为 xr(1+2+n)= x(元), 2 ) 1 ( r n n 而本金为 nx元,这样就得到本利和公式 y=nx+ x(元), 2 ) 1 ( r n n 即 y=xn+ (元)(nN + ); 2 ) 1 ( r n n (2)每

10、月存入 500元,月利率为 0.3%,根据式,本利和 y=500(36+ 0.3%)=18 999(元); 2 37 36 (3)依题意,在式中,y=2 000,r=0.3%,n=12. x= 163.48(元). % 3 . 0 13 6 12 2000 ) 1 ( r x n n n y 答:每月应存入 163.48元. 点评:通过本例的数学建模,学生应了解和经历解决实际问题的全过 程,即实际情境提出问题数学模型数学结果检验问题结果. 体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强 应用意识,提高实践能力,并学会通过查询资料等手段获取信息. 变式训练某同学依教育储蓄的方式从

11、2004年 11月 1日开始,每月按时存入 250元,连续存 6年,月利率为 0.3%.求到期一次可支取本利共多少元? 解:根据题意,教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄,由例 1可知到期 一次可支取本利为250(72+ 0.3%)=19 971(元). 2 73 72 答:到期一次可支取本利和共为 19 971元. 例 2 定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动 转存.例如,储户某日存入一笔 1年期定期存款,1年后,如果储户不取 出本利和.则银行自动办理转存业务,第 2年的本金就是第 1年的本 利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨 论以下问题: (1)如

12、果储户存入定期为 1年的 P 元存款,定期年利率为 r,连存 n年后, 再取出本利和.试求出储户 n年后所得本利和的公式; (2)如果存入 1万元定期存款,存期 1 年,年利率为 2.79%,那么 5年后 共得本利和多少万元(保留 3位有效数字)?活动:教师引导学生阅读实际问题,理解这种定期自动转存储蓄 中,第二年的本金是第一年的本利和.这种储蓄的计息方式是按复利 计息,是等比数列的模型,这是解决本例的关键.事实上,在将实际问题 转化为数列问题时,应特别分清是等差数列还是等比数列. 解:(1)记 n年后得到的本利和为 a n ,根据题意, 第 1年存入的本金 P 元,1年后到期利息为 Pr,1

13、 年后本利和为 a 1 =P+Pr=P(1+r)(元); 2年后到期利息为 P(1+r)r 元,2年后本利和为 a 2 =P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r) 2 (元); 各年的本利和是一个以 a 1 =P(1+r)为首项,公比为 q=1+r 的等比数列 a n ,故 n年后到期的本利和 a n =a 1 q n-1 =P(1+r)(1+r) n-1 =P(1+r) n (元)(复利公式). (2)根据上式,5年后本利和为 a 5 =1(1+0.027 9) 5 1.148(万元). 答:5 年后共得本利和约为 1.148 万元.点评:教师可借此引导学生探究银行存款的最佳方式及储蓄业务

14、 的种类.尝试设计“寻找最好存款方式”的算法程序,并上机实现.可利 用多媒体探究以下问题: 银行整存整取定期储蓄年利率如下表所示. (2007 年 3月 18日) 存 期 1年 2年 3年 5年 年利率/% 2.79 3.33 3.96 4.41 某公司欲将 10万元存入银行 5年,可按以下方案办理(不考虑利息税): (1)直接存入 5年定期; (2)先存 2年定期,取出本利和后再存 3年定期. 问题 1 计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方式更合算?(第 (1)种更合算) 问题 2 你能设计出更好的存款方案吗?(答案略) 例 3 分期付款模型 小华准备购买一台售价为 5 000元的电脑,

15、采 用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后 2个月第 1次付款,再过 2个月第 2次付款购买后 12个 月第 6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为 0.8%,每月利息按复 利计算.求小华每期付的金额是多少?活动:教师引导学生探究,分期付款是数列知识的一个实际应用, 在现实生活中形式很多.除本题要求每次付款金额相同外,各次付款 的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,二者的差 额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等 比数列的模型. 解:假定小华每期还款 x元,第 k个月末还款后的本利欠款数为 A k 元, 则 A 2 =5 0

16、00(1+0.008) 2 -x; A 4 =A 2 (1+0.008) 2 -x=5 000(1+0.008) 4 -(1.008) 2 x-x; A 6 =A 4 (1+0.008) 2 -x=5 000(1+0.008) 6 -(1.008) 4 x-(1.008) 2 x-x; A 12 =5 000(1.008) 12 -(1.008) 10 +(1.008) 8 +(1.008) 6 +(1.008) 4 +(1.008) 2 +1x; 由题意年底还清,所以 A 12 =0. 解得 x= 880. 10 8 6 4 2 12 ) 008 . 1 ( ) 008 . 1 ( ) 008 . 1 1 ( ) 008 . 1 ( ) 008 . 1 ( 1 (1.008) 000 5 8(元). 答:小华每次付款的金额为 880.8 元.点