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1、1 小升初数学常考十大内容 比和比例 1 、比和比例的意义比的意义是：两个数相除又叫做两个数的比, 比例的意义是：表示两个比相等的式子叫做比例。比例是比的结果，比是比例的基础。他们都是衡量数量关系的 一种工具。比和比例，是小学数学中的一个重要内容，也是学习更多数学知 识的重要基础.有了“比”和“比例”这两个概念和表达方式，对于 处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多. 比和比例的相关知识在 生活中用非常广泛，我们在以后还要进行更广泛更深入的学习。因 此，要为以后的学习打下坚实的基础。2、比和比例的基本类型及解法（一）比和比例的分配 最基本的比例问题是求比或比值，从已知一些比或者其他数量 关系，求
2、出新的比. 例1、甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的 乙花钱数的 ，乙 1 2 1 3 花钱数的 等于丙花钱数的 ，结果丙比甲多花93元，问他们三人共 3 4 4 7 花了多少钱？ 解、根据比例与乘法的关系 甲数 =乙数 1 2 1 3 即：甲数：乙数= ： =2:3 1 3 1 2 乙数 =丙数 3 4 4 72 即：乙数：丙数= ： =16:21 4 7 3 4连比后是甲乙丙=（216）(316)(321 )=324863. 三人共花了93（63-32）（32+48+63）=429（元）答：甲、乙、丙三人共花了429元.下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个 数量被分成
3、若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这 些数量.例2一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加 32，新的分数约分后是 ，原来的分数是多少？ 2 3 解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分 母之比23.因此 分子=（100+23+32） =62 2 2+3分母=（100+23+32） =93 3 2+3 原来分数是 = 62 23 93 32 39 61 答：原来分数是 39 61例3加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟， 现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多 少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且
4、同一时间完成任务，所用时间最少， 要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量. 三人工作效率之比是3 ： ： =28:24:21 1 3 1 3.5 1 4 他们分别需要完成的工作量是 甲完成1825 =700（个） 28 28+24+21 乙完成1825 =600（个） 24 28+24+21 丙完成1825 =525（个） 21 28+24+21所需时间是 7003=2100分钟）=35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要 35小时. （二） 比的变化 已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生 变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个
5、数量呢？.例4、有一些球，其中红球占 ，当再放入8个红球后，红球占 1 3 总球数的 ，问现在共有多少球？ 5 14解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5（14-5）=59.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1（3-1）=12=4.59.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是80.5（5+9）=224（个）答：现在共有球224个.4 本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把12写成 4.59，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解： （x+8）2x=59.例5 张家与李家的收入钱数之比是85，开支的钱数之比是 83，结果张家结余240
6、元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是85，那么结余的钱数之比也应 是85.张家结余240元，李家应结余x元.有240x=85，x=150（元）. 实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是85中5 份与83中3份的差，每份是120（5-3）=60.（元）.因此可求 出 张家：开支608=480（元），收入480+240=720（元） 李家：开支603=180（元），收入180+270=450（元） 答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与 李家开支的8倍的钱一样多.
7、我们画出一个示意图：5张家开支的3倍是（8份-240）3.李家开支的8倍是（5份-270）8.从图上可以看出 58-83=16份，相当于2708-2403=1440（元）.因此每份是144016=90（元）.张家收入是908=720（元），李家收入是905=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.例6 小明和小强原有的图画纸之比是43，小明又买来15 张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是52.问原来两人各有多 少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成 7份，总数多了7张，因此，新的
8、1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-14=11（张）.小明原有图画纸115-15=40（张），小强原有图画纸112+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用“假设”方法.先要将两个比中的前项化成 同一个数（实际上就是通分）643=201552=208. 假设小强也买来15 = （张），那么变化后的比仍是 20:15 3 4 45 4 但现在是208，因此这个比的每一份是（ ）（15-8）= 45 4 +8 11 4 小明现有20 =55（张），原有55-15=40（张） 11 4 小强现有8 =22（张），原有22+8=30
9、（张） 11 4 “假设”这一思路是很有用的，希望大家能很好掌握，灵活运用.从 课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这 就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于 心算，促进思维. （三）比例的其他问题 比例关系可以用比表示，也可以用分数表示，例如，甲比乙的 多 2 3 7， 这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关 系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分数问题，就是比例问题. . 例7、有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有 黑子400个和白子100个，为了使A堆中黑子占A堆的 ，B堆中 1 2 黑子占 ，要从B 堆中
10、拿到 A堆黑子、白子各多少个？ 3 4 解：要B堆中黑子占 ，即黑子与白子之比是3:1，先从B堆中 3 4 拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）10031.再7 要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持 31的比.现在 A堆已有黑子 350 100 450个），与已有白子500个， 相差50个黑子，占 就是两种棋子一样多，从B堆再拿出黑子与 1 2 白子，要相差50个，又要符合31这个比，要拿出白子数是50（3-1）25（个）.再要拿出黑子数是 253 75（个）. 答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个. 例8 张、王、李三人共有108元，张用了自己钱数的 ，王用了 3 5 自己钱数的 ，李用了自己钱数的 ，各买了一支相同的钢笔，问张 3 4 2 3 和李剩下的钱共有多少元？ 解：设钢笔的价格是1. 张有的钱数是1 = 3 5 5 3 王有的钱数是1 = 3 4 4 3 李有的钱数是1 = 2 3 3 2这样就可以求出，钢笔价格是 108（ + + ） 5 3 4 3 3 2 =108 10+8+9 6 =24（元） 张剩下的钱数是24（ -1）=16（元） 5 3 李剩下的钱数24（ -1）=12（元） 3 2 16+12=28（元）8答：张、李两人剩下的钱共28元.
