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1、- 1 - 上海交通大学2000 年保送生数学试题 一、选择题(本题共 15分，每小题 3分在每小题给出的 4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填 在括号内) 1若今天是星期二，则 3 1998 天之后是 ( ) A星期四 B星期三 C星期二 D星期一 2用 13个字母 A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机 的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( ) A B C D 48 13! 216 13! 1728 13! 8 13! 3方程 cos 2 xsin 2 x+sinxm+1 有实数解，则实数 m 的取值范围是 ( )
2、 A Bm 3 Cm 1 D 1 8 m 1 3 8 m 4若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x 2 +px+q0 的两个根，则此数列各项的积是 ( ) Ap m Bp 2m Cq m Dq 2m 5设 f (x 0 )2，则 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h h A 2 B2 C4 D4 二、填空题（本题共 24分，每小题 3分） 1设 f(x)的原函数是 ，则 _ 1 x 1 0 (2 ) f x dx 2设 ，则函数( 的最小值是_ (0, ) 2 x 2 2 2 2 1 1 sin )(cos ) sin cos x x x x
3、 3方程 的解 x_ 3 16 2 81 5 36 x x x 4向量 在向量 上的投影 _ 2 a i j v v v 3 4 b i j v v v ( ) b a v v 5函数 的单调增加区间是_ 3 2 2 3 y x x 6两个等差数列 200，203，206，和 50，54，58都有 100项，它们共同的项的个数是_ 7方程 7x 2 (k+13)x+k 2 k 20 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则 k 的取值范围是_ 8将 3个相同的球放到 4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是 等可能的，则事件“有 3个盒子各放一个球”的概率是_
4、三、证明与计算（本题 61分） 1(6 分)已知正数列 a 1 ，a 2 ，a n ，且对大于 1的 n有 ， 1 2 3 2 n a a a n L 1 2 1 2 n n a a a L 试证：a 1 ，a 2 ，a n 中至少有一个小于 1 2(10 分)设 3次多项式 f(x)满足：f(x+2)f(x)，f(0)1，f(3)4，试求 f(x)- 2 - 3(8 分)求极限 1 1 2 lim ( 0) p p p p n n p n L 4(10 分)设 在 x0 处可导，且原点到 f(x)中直线的距离为 ，原点到 f(x)中 2 , 0 ( ) , 0 x bx c x f x lx
5、 m x 1 3 曲线部分的最短距离为 3，试求 b，c，l，m 的值(b,c0) 5(8 分)证明不等式： ， 3 4 1 sin cos 2 x x 0, 2 x 6(8 分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 若射手甲先射，谁先 1 2 命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率 7(11 分)如图所示，设曲线 上的点与 x轴上的点顺次 1 y x 构成等腰直角三角形OB 1 A 1 ，A 1 B 2 A 2 ，直角顶点在 曲线 上试求 A n 的坐标表达式，并说明这些三角 1 y x 形的面积之和是否存在 O y x B 1 A 2 A 1 B 2- 3 -
6、 复旦大学2000 年保送生招生测试数学试题（理科） 一、填空题（每小题 10分，共 60分） 1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n组含 n个 数，即 1；2，3；4，5，6；令 a n 为第 n组数之和，则 a n _ 2 _ 2 2 2 sin sin ( ) sin ( ) 3 3 3 _ 2 2 2 lim( 2)log ( 2) 2( 1)log ( 1) log n n n n n n n 4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底 面成 60度角，则两对角面面积之比为_ 5正实数 x,y 满
7、足关系式 x 2 xy40，又若 x1，则 y 的最小值为_ 6一列火车长 500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火 车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000米处， 假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米 二、解答题（每小题 15分，共 90分） 1数列a n 适合递推式 a n+1 3a n +4，又 a 1 1，求数列前 n项和 S n 2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的 光学性质吗？请叙述但不必证明 3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面
8、角等于 ， 1 2arcsin (3 2 6) 2 求该棱锥的体积( ) 1 cos ( 2 6) 12 4 4设 z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 是复平面上单位圆上的四点，若 z 1 +z 2 +z 3 +z 4 =0 求证：这四个点组成一个矩形- 4 - 5设 ，其中 x n ,y n 为整数，求 n时， 的极限 (1 2) 2 n n n x y n n x y 6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过 1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个 点请证明你的结论- 5 - 2000 年交大联读班试题 1. 直线 关于 的对称直线为_。 y ax b y x 2. 已知 是 的
9、三边， ， ，且满足 ， , , a b c ABC V 1 a b c log log 2log log b c c b b c c b a a a a 则 是_的三角形。 ABC V 3. 已知 ，则 _。 8 8 7 8 7 1 0 3 1 x a x a x a x a L 8 6 4 2 0 a a a a a 4. 已知 满足： ，则 的最小正周期是_。 f x 1 1 1 f x f x f x f x 5. 已知 是偶函数， 是奇函数，且 ，则 f x 2 f x 0 1998 f _。 2000 f 6. 是 的三边，且 ，则 , , a b c ABC V : : 4 :
10、5: 6 b c a c a b _。 sin : sin : sin A B C 7. 是十进制的数， 是 的各个数字之和，则使 成立的最小的 是 n f n n 20 f n n _。 8. _。 7 sin sin 12 12 7 cos cos 12 12 9. 函数 的反函数是_。 3 3 2 2 1 1 f x x x x x x R 10. 已知数列 （ 是不等于 1的常数） ，则 _。 n n n a k k 1 2 3 n a a a a L 11. 从自然数 1至 100中任取 2个相乘，其结果是 3的倍数的情况有种 _。 （取出的数不分先后） 12. 己知 在 处可导，则
11、 _。 f x 0 x 2 2 0 0 3 lim h f x h f x h h 13. 已知 为整数， 为非负整数， ，则整点 的个数为_。 , x y n x y n , x y 14. 抛物线 上，点 坐标为 ，抛物线在 点的切线与 轴及直线 夹 2 0 y x x A 1 ,0 3 P y PA 角相等，求点 P 的坐标。 15. 在 中， ， ，求证： 求 。 n a 1 4 a 1 6 n n a a 1 1 3 3 3 n n a a lim n n a 16. 已知 ， ， 2 2 u y x 2 v xy - 6 - 若点 在单位圆上以 为起点按顺时针方向转一圈，求点 的轨
12、迹； , x y 0,1 , u v 若点 在直线 上运动，而点 在过点 的直线上运动，求 ， 的值。 , x y y ax b , u v 1,1 a b 17. 若 满足 ，求下列函数的最小值： ； ； , x y 2 2 2 3 3 12 0 x xy y x y x y xy 。 3 3 x y 18. 若方程 有 3个不同实根，求实数 的取值范围。 3 27 0 x x m m 19. 己知函数 满足 ，又 ，求函数 的解 f x f x y f x f y xy x y 0 1 f f x 析式。 20. 口袋中有 4个白球，2个黄球，一次摸 2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到 第 次两个黄球都被摸出，即第 次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概 n 1 n 率是 ，求 。 n P 2 3 , , n P P P- 7 - 2001 复旦基地班数学试题 1. 设函数 的反函数是它自身，则常数 _。 x y x a a 2. 不等式 的解集是_。 2 2 2 2 log log x x 3. 直线 与 间的距离是_。 2 7 8 0 x y 2 7 6 0 x y 4. 如果 的展开式的系数和是 的展开式的系数和的 512倍，那么自然数 与 3 n x 1 m y n 的关系为_。 m 5. 椭圆 的
