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1、- 1 -第一节绝对值不等式1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|. 2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c； |xa|xb|c. 知识点一 绝对值三角不等式 1定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当_时，等号成立 2定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当 _时，等号成立 答案 1ab0 2.(ab)(bc)0 1判断正误 (1)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立( ) (2)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成
2、立( ) (3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立( ) 答案：(1) (2) (3) 2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_ 解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解， 可使|a1|3，3a13，2a4. 答案：2,4 知识点二 含绝对值的不等式的解法 1含绝对值的不等式|x|a的解法 不等式 a0 a0 aa _ _ R 2.|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)|axb|c_； (2)|axb|c_. 3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求
3、解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 答案 1x|aa，或x0，|x1|0)”型不等式的解法 【例2】 (1)|54x|9的解集是_ (2)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_ 【解析】 (1)因为|54x|9，所以54x9或54x14，所 以x ，所以原不等式的解集为Error!. 7 2 (2)由于|x2|1|1，即1|x2|11，即|x2|2，所以2x22， 所以0x4. 【答案】 (1)Error! (2)0x4 考向2 “|xa|xb|c和|xa|xb|c(c0)”型不
4、等式的解法 【例3】 (2016新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|. ()画出yf(x)的图象；- 4 - ()求不等式|f(x)|1的解集 【解】 ()f(x)Error! yf(x)的图象如图所示 ()由f(x)的表达式及图象知， 当f(x)1时，可得x1或x3； 当f(x)1时，可得x 或x5. 1 3 故f(x)1的解集为x|15 1 3 所以|f(x)|1的解集为x|x5. 1 3 【总结反思】 含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a(0，)，|x|axa. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号 (3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不
5、等式，可用零点分区 间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象 求解.(1)若不等式|xa|3x0(其中a0)的解集为x|x1，则实数a的值是_ (2)解不等式|2x1|x4|0. 解析：(1)不等式|xa|3x0 等价于Error!或Error!即Error!或Error!因为a0，所以不等- 5 - 式组的解集为Error!.由题设可得 1，故a2. a 2 (2)解：令f(x)|2x1|x4|，
6、当x4时，f(x)2x1(x4)x50得 x5，所以x4时，不等式成立当 x0，得 1 2 x1，所以，10，得x1或x1时，等价于a1a3，解得a2. 所以a的取值范围是2，). 【总结反思】 不等式恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法 运用“f(x)af(x) max a，f(x)af(x) min a”可解决恒成立中的参数范围问题 (2)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思 维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题 提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为的对立面也是不等式 恒成立问题，如f(x)m的解集为，则 f(x)m恒成立.(2017郑州模拟)已知函数f(x)|2x1|2x3|. (1)求不等式f(x)6的解集 (2)若关于x的不等式f(x)4，解此不等 式得a5. 1对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对|ab|a|b|，当且仅当 |a|b|且ab0时，等号成立，对|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且 ab0时左边等号成立，当且仅当ab0时右边等号成立 2形如|xa|xb|c(c0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及 c的符号判断，若c0，则不等式解集为R.
