中心对称图形讲义

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1、知识点一：旋转 1.旋转的概念 将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称 为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改 变图形上点的位置。 2.旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点 分别与旋转中心连线所成的角相等。 3.画旋转后的图形 利用图形的旋转的性质，可以画出一个图形绕某点按照一定的方向旋转一定角度后 的图形。 基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长 为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。 考点一：生活中的旋转 例1：下列现

2、象中： 地下水位逐年下降； 传送带的移动； 方向盘的转动； 水龙头开关的转动； 钟摆的运动； 荡秋千运动属于旋转的有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 例2：在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了知道原来图形的位置和旋转 方向外，还需要知道_和_ 例3：小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上（如图所示） ，则左手手印 _（填“能”或“不能” ）通过旋转与右手手印完全重合在一起 考点二：确定图形的旋转角度 例1：如图所示，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若COD是由 AOB绕点 O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A.30 B.45 C.90 D.

3、135 考点三：确定图形的旋转中心 例 1：如图，O为正方形 ABCD的边 CD的中点，如果正方形 CDEF旋转 后能与正方 形 ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的 点共 个。 例 2：如图，线段 AB是线段 AB 绕着某一点 O 旋转得到的，点 A与点 A 为 一对对应点，请找出旋转中心 O .O考点四：生活中的数学问题 例 1：如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为 黑、反面为白的拼木， 现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ） A. B. C. D. 考点五：推理说明题 例1：将两块大小相同的含30角的直角三角尺（BAC=BA

4、C=30）按如图所 示的方式放置，固定三角尺ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转 （旋转角小于90）至图所示的位置，AB与AC交于点E，AC与AB交于点F，AB 与AB相交于点O （1）求证：BCEBCF； （2）当旋转角等于30时，AB与AB垂直吗？请说明理由考点六：有关旋转的做图题 例1：在方格纸上按下列要求作图（如图） ，不用写作法： （1）做出“小旗子”向右平移6格后的图案； （2）做出“小旗子”绕点O按逆时针方向旋转90后的图案。 考点七：探究性问题 例1：在ABC中，AB=AC，BAC=（060） ，将线段BC 绕点B按逆时针方向旋转60得到线段BD。 （1）如图1

5、，直接写 出ABD的大小（用含的式子表示） ； （2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并 加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC=45，求的值例2：如图，在 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE45，将 ADC 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到AFB，连接 EF，下列结论：AED AEF；AEAD；BEDCDE；BE 2 DC 2 DE 2 其中正确的是 ( )A B C D【误区警示】 误点1 不能抓住图形旋转的基本要素，导致错误 例1：如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形 （图形的阴影部

6、分）绕中心O至少经过 次旋转而得到，每一次旋转 误点2 不能灵活运用图形旋转的性质，导致错误 例2：如图，在RtABC中，ACB=90，A=，将ABC饶点C按顺时针旋转后得到 EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为 知识点二：中心对称与中心对称图形 1、中心对称的概念 一个图形绕某点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点 对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称 点。 2、中心对称的性质 一个图形绕某一点旋转180是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的 一切性质。 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中

7、心，且被对称中心平分。 3、中心对称图形的定义及其性质 把一个图形绕某点旋转180,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线 段都被对称中心平分。 4、轴对称图形与中心对称图形的对比 轴对称图形 中心对称图形 图形沿对称轴对折（翻折180）后重合 图形绕对称中心旋转180 重合 对称点的连线被对称轴垂直平分 对称点的连线经过对称中心，且别对称中心平分 例 2图5、成中心对称图形的画法 考点一：概念与性质 例1：下列说法中，不正确的是 ( )A关于某一点中心对称的两个图形全等B全等的两个图形一定关于某一点

8、成中心对称 C圆是中心对称图形D任何一条线段的两个端点关于这条线段的中点成中心对称 考点二：识别中心对称图形 例1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B C D 考点三：游戏中的数学问题 例1：已知如图所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180后得到的图，则旋转的牌是 （ ） A B C D 考点四：方案设计题 例1：如图，两个三角形成中心对称，请确定其对称中心 例2：如图，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 180后得到A 1 B 1 C 1 ，请你画出旋转后的 A 1 B 1 C 1 例3：如图，是一个44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请你在网 格中以左上角的三

9、角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美 图案，使其满足： 既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4 考点五：推理说明题 例1：如图，直线 ，垂足为 O，点A 1 与点A关于直线 对称， 、点A 2 与点 2 1 l l 1 l A关于直线 对称，点A 1 与点A 2 有怎样的对称关系？请说明理由。 2 l 例2：如图，在ABC 中，ABBC，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 度，得到 A 1 BC 1 ，A 1 B 交 AC 于点 E，A 1 C 1 分别交 AC、BC 于点 D、F下列结论： CDF，A 1 ECF，DFFC，A

10、DCE，A 1 FCE其中正确的是 _（写出正确结论的序号） 考点六：操作探究题 例1：如图，在网格中有一个四边形图案 （1）请你画出此图案绕点O按顺时针方向旋转90、180、270的图 案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置画错。 （2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为 A 1 ，A 2 ，A 3 ，求四边形AA 1 A 2 A 3 的面积 （3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论 【误区警示】 误点1 不能正确识别中心对称图形，导致错误 例1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B C D 误点2 不能运用中心对

11、称图形的性质将问题进行转化，导致错误 例2：如图，ABBC，AB=BC=2cm， 与 关于点O中 OA OC 心对称， 则AB、BC、 、 所围成的面积是 cm 0 CO OA知识点三： 平行四边形 1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2、平行四边形的性质 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等邻 角互补（3）平行四边形的对角线互相平分。 3、判定平行四边形的条件 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相

12、等的四边形叫做平行四边形 4、平行四边形的画法 5、反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提 出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而 命题的结论是成立的。 考点一：运用性质进行求值 例1：ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O如果 AC14，BD8，ABx，那么x 的取值范围是_ 例2：如图，ABCD 的对角线交于点 O，且 AB5，OCD 的周长为 23，则ABCD 的 两条对角线的和是 ( )A18 B28 C36 D46 例3：在ABCD 中，AB6 cm，BC8 cm，则ABCD 的周长为_c

13、m 例4：如图，在ABCD 中，A120，则D_ 例5：如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AC14，BD8，AB10，则OAB 的周长为 _ 例6：如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且 BAD=60，F=110，则DAE的度数为 例7：如图所示，在ABC 中，ABAC5，D 是 BC 上的点，DEAB 交 AC 于点 E，DFAC 交 AB 于点 F，那么四边形 AFDE 的周长是_ 考点二：平行四边形的性质与勾股定理相结合 例1：如图，在ABCD 中，已知ODA90，AC10 cm，BD6 cm，则 AD 的长为 ( )A4cm B5 cm C6 cm D8

14、cm 例2：在ABCD 中，已知 AB6cm，AC8 cm，AD10cm，则ABCD 的面积为 考点三：利用平行四边形的性质证全等 例1：如图，在平行四边形 ABCD 中，过 AC 中点 O 作直线，分别交 AD、BC 于点 E、F求证：AOFCOF例2：如图，在平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上取两点 E 和 F，若 AECF，那么 AFD 与CEB 是否相等？为什么？考点四：平行四边形的性质与角平分线相结合 例1：如图，已知平行四边形 ABCD 中，BCD 的平分线 CE 交边 AD 于 E，ABC 的平 分线 BG 交 CE 于 F，交 AD 于 G那AE 与 DG 相等吗？为什么？ PABCD考点五：平行四边形与图形的面积 例1：如图，在ABCD 中，点 E 在 AC 上，AE2EC，点 F 在 AB 上，BF2AF，如果 BEF 的面积为 2 cm 2 ，则ABCD 的面积为_cm 2 例2：如图在ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 边上的任意两点， ，则 S 阴影= 。 2 2 30 , 20 cm S cm S CDQ APB 例3：如图所示，在 ABCD中，P是AC上任意一点，求证： APD ABP S S 考点六：平行四边形的判定