《线性代数课件-------5-1-5-2课后习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件-------5-1-5-2课后习题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第五章 相似矩阵及二次型 1试用施密特法把下列向量组正交化： (1) 9 3 1 4 2 1 1 1 1 ) , , ( 3 2 1 a a a ； (2) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ) , , ( 3 2 1 a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令 1 1 1 1 1 a b ， 1 0 1 , , 1 1 1 2 1 2 2 b b b a b a b ， 1 2 1 3 1 , , , , 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 b b b a b b b b a b a b ， 故正交化后得: 3 1 1 1 3 2 0 1 3 1 1 1
2、 ) , , ( 3 2 1 b b b (2) 根据施密特正交化方法令 1 1 0 1 1 1 a b2 1 2 3 1 3 1 , , 1 1 1 2 1 2 2 b b b a b a b 4 3 3 1 5 1 , , , , 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 b b b a b b b b a b a b 故正交化后得 5 4 3 1 1 5 3 3 2 1 5 3 1 0 5 1 3 1 1 ) , , ( 3 2 1 b b b 2下列矩阵是不是正交阵: (1) 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 ; (2) 9 7 9 4 9 4 9 4
3、9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵 (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵 3设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵 证明 因为 B A, 是n 阶正交阵，故 A A T 1 ， B B T 1 E AB A B AB A B AB AB T T T 1 1 ) ( ) ( 故AB 也是正交阵 4求下列矩阵的特征值和特征向量:3 (1) 4 2 1 1 ; (2) 6 3 3 3 1 2 3 2 1 ; (3) ) 0 ( , 1 2 1 2 1 a a a a a a a n n L M . 并问它们的
4、特征向量是否两两正交? 解 (1) ) 3 )( 2 ( 4 2 1 1 E A 故A 的特征值为 3 , 2 2 1 当 2 1 时,解方程 0 ) 2 ( x E A ,由 0 0 1 1 2 2 1 1 ) 2 ( E A 得基础解系 1 1 1 P 所以 ) 0 ( 1 1 1 k P k 是对应于 2 1 的全部特征值向量 当 3 2 时,解方程 0 ) 3 ( x E A ,由 0 0 1 2 1 2 1 2 ) 3 ( E A 得基础解系 1 2 1 2 P 所以 ) 0 ( 2 2 2 k P k 是对应于 3 3 的全部特征向量 0 2 3 1 2 1 ) 1 , 1 ( ,
5、 2 1 2 1 P P P P T 故 2 1 ,P P 不正交 (2) ) 9 )( 1 ( 6 3 3 3 1 2 3 2 1 E A 故A 的特征值为 9 , 1 , 0 3 2 1 当 0 1 时，解方程 0 Ax ，由 0 0 0 1 1 0 3 2 1 6 3 3 3 1 2 3 2 1 A 得基础解系 1 1 1 1 P 故 ) 0 ( 1 1 1 k P k 是对应于 0 1 的全部特征值向量. 当 1 2 时,解方程 0 ) ( x E A ，由4 0 0 0 1 0 0 3 2 2 7 3 3 3 2 2 3 2 2 E A 得基础解系 0 1 1 2 P 故 ) 0 (
6、 2 2 2 k P k 是对应于 1 2 的全部特征值向量 当 9 3 时，解方程 0 ) 9 ( x E A ，由 0 0 0 2 1 1 0 1 1 1 3 3 3 3 8 2 3 2 8 9 E A 得基础解系 1 2 1 2 1 3 P 故 ) 0 ( 3 3 3 k P k 是对应于 9 3 的全部特征值向量 0 0 1 1 ) 1 , 1 , 1 ( , 2 1 2 1 P P P P T ， 0 1 2 1 2 1 ) 0 , 1 , 1 ( , 3 2 3 2 P P P P T ， 0 1 2 1 2 1 ) 1 , 1 , 1 ( , 3 1 3 1 P P P P T
7、， 所以 3 2 1 , , P P P 两两正交 (3) 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A L M O M M L L= ) ( 2 2 2 2 1 1 n n n a a a L ) ( 2 2 2 2 1 1 n n a a a L 5 n i i n a a a a 1 2 2 2 2 2 1 1 L , 0 3 2 n L 当 n i i a 1 2 1 时， E A 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 n n n n
8、n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L L M O M M L L L L 初等行变换 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 L L M M O M M L L n n n n a a a a a a 取 n x 为自由未知量，并令 n n a x ，设 1 1 2 2 1 1 , , n n a x a x a x L . 故基础解系为 n a a a P M 2 1 1 当 0 3 2 n L 时， 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A L M M M L L 0 0 0 0 0 0 2 1 L M M M L L n a a a 初等行变换 可得基础解系6 1 1 2 3 1 2 2 0 0 , , 0 0 , 0 0 a a P a a P a a P n n M L M M 综上所述可知原矩阵的特征向量为 1 1 2 2 1 2 1 0 0 , , , a a a a a a a P P P n n n L M M M L L L
