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1、- 1 - 第二讲 图形位置关系 【前言】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆 这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还 是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。综合整 个 2010 一模来看，18 套题中有 17 套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来 考察。这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。由于此类题目基本都是上档次解答题 的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。所以如何将此题分数尽揽怀中就成 为了每个考生与家长不得不重视的问题。从题目本身来看,一般都是采取很标
2、准的两问式.第 一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和 一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。一模尚且如此,中考也不 会差的太远。至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一 模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。 第一部分 真题精讲 【例 1】(2010，丰台，一模) 已知：如图，AB 为O 的直径，O 过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 DE=2，tanC= ，求O 的直径 1 2OEDCBA 【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不
3、过这两个题的三角形一个是躺着一个 是立着，让人怀疑他们是不是串通好了近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考 察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是 直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接 OD，在ABC 中 OD 就是中位线，平行于 BC。所以利用垂直传递关系可证 ODDE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是 90 这一知识点。利用垂直平分关系得出ABC 是等腰三角形，从而将求 AB 转化为求 BD，从 而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】 （1）证明：联结OD D为AC中点， O为AB中点，OEDCBA OD为ABC的
4、中位线 ODBC DEBC， DEC=90. ODE=DEC=90. ODDE于点D.- 2 - DE为O的切线 （2）解：联结DB AB为O的直径， ADB=90 DBAC CDB=90. D为AC中点， AB=AC 在RtDEC中，DE=2 ，tanC= ， EC= . （三角函数的意义要记牢） 1 2 4 tan DE C 由勾股定理得：DC= . 2 5 在RtDCB 中， BD= 由勾股定理得： BC=5. tan 5 DC C AB=BC=5. O的直径为5. 【例 2】 （2010，海淀，一模） 已知：如图， 为 的外接圆， 为 的直径，作射线 ，使得 平分 O e ABC BC
5、 O e BF BA ，过点 作 于点 . CBF A AD BF D （1）求证： 为 的切线； DA O e （2）若 ， ，求 的半径. 1 BD 1 tan 2 BAD O eOFDCBA 【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只 给了一条 BA 平分CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角 度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连 OA 之后 发现ABD=ABC，而 OAB 构成一个等腰三角形从而ABO=BAO，自然想到传递这几个 角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角BA
6、D 通过等量关系放 在ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。 【解析】证明：连接 . 3421OFDCBA AO ， AO BO . 2 3 ， BA CBF 平分- 3 - . . 1 2 3 1 . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） DB AO , AD DB . . 90 BDA 90 DAO 是O 半径， AO 为O 的切线. DA （2） , ， ， AD DB 1 BD 1 tan 2 BAD . 2 AD 由勾股定理，得 . 5 AB .（通过三角函数的转换来扩大已知条件） 5 sin 4 5 是O 直径， BC . . 90 BAC 2 90 C 又 , , 4
7、 1 90 2 1 . （这一步也可以用三角形相似直接推出 BD/AB=AB/AC=sinBAD） 4 C 在 Rt 中， = =5. ABC sin AB BC C sin 4 AB 的半径为 . O e 5 2 【例 3】 （2010，昌平，一模） 已知：如图，点 是 的直径 延长线上一点，点 D O CA B 在 上，且 O . OA AB AD （1）求证： 是 的切线； BD O （2）若点 是劣弧 上一点， 与 相交 E BC AE BC 于点 ，且 ， ， F 8 BE 5 tan 2 BFA 求 的半径长. O 【思路分析】 此题条件中有 OA=AB=OD，聪明的同 学瞬间就能
8、看出来 BA 其实就是三角形 OBD 中斜边 OD 上的中线。那么根据直角三角形斜 边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出OBD=90，于是切线问题迎刃 而解。事实上如果看不出来，那么连接 OB 以后像例 2 那样用角度传递也是可以做的。本 题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形 相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理 等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望 大家认真掌握。 【解析】FEDCBAO231FEDCBA4O- 4 - （1）证明：连接 . OB ， ,
9、 OA AB OA OB . OA AB OB 是等边三角形. ABO . 1 60 BAO ， AB AD . 2 30 D . 1 2 90 . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） DB BO 又点 在 上， B O 是 的切线 . DB O （2）解： 是 的直径， CA O . 90 ABC 在 中， , Rt ABF 5 tan 2 AB BFA BF 设 则 ， 5 , AB x 2 BF x . 2 2 3 AF AB BF x . （设元的思想很重要） 2 3 BF AF , , 3 4 C E . BFE AFC . 2 3 BE BF AC AF , 8 BE
10、 . 12 AC .5分 6 AO 【例 4】 （2010，密云，一模） 如图，等腰三角形 中， ， 以 为直径作 交 于点 ， ABC 6 AC BC 8 AB BC O e AB D 交 于点 ， ，垂足为 ，交 的延长线于点 AC G DF AC F CB E （1）求证：直线 是 的切线； EF O e （2）求 的值 sin E - 5 -DFGCOBEA 【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证 EF 是切线，则需证 OD 垂直于 EF，但是本题中并未给 OD 和其他线角之间的关系，所以就需 要多做一条辅助线连接 CD，利用直径的圆周角是 90，
11、并且ABC 是以 AC,CB 为腰的等腰 三角形，从而得出 D 是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问 的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的 RT 三角形当中构造代数关系，通过解方 程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。 【解析】DFGCOBEA （1）证明：如图，连结 ，则 CD 90 BDC CD AB ， AC BC AD BD 是 的中点 D AB 是 的中点， O BC DO AC 于F EF AC EF DO 是 的切线 EF O e ( 2 ) 连结 ， 是直径, （直径的圆周角都是90） BG BC 90 BGC CFE BG EF sin
12、 FC CG E EC BC 设 ，则 CG x 6 AG x 在 中， Rt BGA 2 2 2 BG BC CG 在 中， （这一步至关重要，利用两相邻RT的临边构建等式， Rt BGC 2 2 2 BG AB AG 事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法） 解得 即 2 2 2 2 6 8 6 x x 2 3 x 2 3 CG 在 中 Rt BGC - 6 - 2 1 3 sin 6 9 CG E BC 【例 5】2010，通州，一模 如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延 长 BA 交圆于 E. （1）若 ED 与
13、A 相切，试判断 GD 与A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GCCD5，求 AD 的长.GFEDCBA 【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有 条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出 DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。 事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类 题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重 点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。 【解析】 （1）结论： 与 相切654321GFEDCBA GD O e 证明：连接AG 点 、 在圆上， G E AG AE 四边形 是平行四边形， ABCD AD BC 1 2 3 B ， AB AG 3 B
