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1、1 高考达标检测（十三） 极值、最值两考点 利用导数巧推演 一、选择题 1函数f(x)(x 2 1) 2 2的极值点是( ) Ax1 Bx1 Cx1或1或0 Dx0 解析：选C f(x)x 4 2x 2 3， 由f(x)4x 3 4x4x(x1)(x1)0， 得x0或x1或x1， 又当x0， 当01时，f(x)0， x0,1，1都是f(x)的极值点 2已知函数f(x)x 3 ax 2 bxa 2 7a在x1处取得极大值10，则 的值为( ) a b A B2 2 3 C2或 D2或 2 3 2 3 解析：选A 由题意知，f(x)3x 2 2axb，f(1)0，f(1)10，即Error!解得
2、Error!或Error!经检验Error!满足题意，故 . a b 2 3 3(2017浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)x 3 bx 2 cx的图象 如图所示，则x x 等于( ) 2 1 2 2 A. B. 2 3 4 3 C. B. 8 3 16 3 解析：选C 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1 ，x 2 是函数f(x)的极值点， 因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x 3 3x 2 2x，所以 f(x)3x 2 6x2.x 1 ，x 2 是方程f(x)3x 2 6x20的两根，因此 x 1 x 2 2，x 1 x 2 ，所以x x (x
3、1 x 2 ) 2 2x 1 x 2 4 . 2 3 2 1 2 2 4 3 8 3 4(2017南昌调研)已知函数f(x)(2xx 2 )e x ，则( ) Af( )是f(x)的极大值也是最大值 2 Bf( )是f(x)的极大值但不是最大值 2 Cf( )是f(x)的极小值也是最小值 2 Df(x)没有最大值也没有最小值2 解析：选A 由题意得f(x)(22x)e x (2xx 2 )e x (2x 2 )e x ，当 0，函数f(x)单调递增；当x 时，f(x)0，在x 处取得极小值f( ) 2 2 2 2 2 2 2( 1)e 0，f(x)单调递增，故当x 时， a a 函数f(x)有
4、最大值 ，得a 1，不合题意；当a1时，函数f(x)在1，) 1 2 a 3 3 3 4 上单调递减，最大值为f(1) ，不合题意；当0a1时，函数f(x)在 1，)上单 1 2 调递减，此时最大值为f(1) ，得a 1，符合题意故a的值为 1，选 1 a1 3 3 3 3 A. 6若函数f(x) x 3 x 2 在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( ) 1 3 2 3 A5,0) B(5,0) C3,0) D(3,0) 解析：选C 由题意，f(x)x 2 2xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，) 上是增函数，在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令 x 3 x
5、2 得，x0 1 3 2 3 2 3 或x3，则结合图象可知Error!解得 a3,0)，故选C. 二、填空题 7若函数f(x)2x 2 ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则 实数k的取值范围是_3 解析：因为f(x)的定义域为(0，)， 又f(x)4x ， 1 x 由f(x)0，得x . 1 2 据题意Error! 解得1k . 3 2 答案： 1， 3 2 ) 8已知函数f(x)x 3 px 2 qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小 值分别为_ 解：由题意知，f(x)3x 2 2pxq，由f(1)0，f(1)0，得Error!解得 p2，q1，
6、f(x)x 3 2x 2 x，由f(x)3x 2 4x10，得x 或x1，易得 1 3 当x 时，f(x)取极大值 ，当x1时，f(x)取极小值0. 1 3 4 27 答案： 0 4 27 9设函数f(x)ln x ax 2 bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为 1 2 _ 解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x) axb， 1 x 由f(1)0，得b1a. f(x) axa1 1 x ax21axx x . ax1x1 x 若a0，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增； 当x1时，f(x)0，f(x)单调递减； 所以x1是f(x)的极大值点 若a0，由f(x)0，得x1或
7、x . 1 a 因为x1是f(x)的极大值点， 所以 1，解得1a0. 1 a 综合得a的取值范围是(1，)4 答案：(1，) 三、解答题 10(2017济宁模拟)已知函数f(x) (k0)求函数f(x)的极值 1ln x kx 解：f(x) ，其定义域为(0，)， 1ln x kx 则f(x) . ln x kx2 令f(x)0，得x1， 当k0时，若0x1，则f(x)0； 若x1，则f(x)0， f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x1时，函数f(x)取得 极大值 ，无极小值 1 k 当k0时，若0x1，则f(x)0； 若x1，则f(x)0， f(x)在(0,1)上单
8、调递减，在(1，)上单调递增，即当x1时，函数f(x)取得 极小值 ，无极大值 1 k 11已知函数f(x)x2ln x 1，g(x)e x (2ln xx) a x (1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围； (2)求g(x)的最大值 解：(1)由题意得x0，f(x)1 . 2 x a x2 由函数f(x)在定义域上是增函数，得f(x)0，即a2xx 2 (x1) 2 1(x0) 因为(x1) 2 11(当x1时，取等号)， 所以a的取值范围是1，) (2)g(x)e x ， ( 2 x 12ln xx ) 由(1)得a2时，f(x)x2ln x 1， 2 x 且f(x)在定义
9、域上是增函数，又f(1)0， 所以，当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0. 所以，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0. 故当x1时，g(x)取得极大值也是最大值e.5 12(2017威海调研)已知函数f(x) ax，x1. x ln x (1)若f(x)在(1，)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若a2，求函数f(x)的极小值； (3)在(2)的条件下，若方程(2xm)ln xx0在(1，e上有两个不等实根，求实数 m的取值范围 解：(1)f(x) ax，x1. x ln x f(x) a.由题意可得f(x)0在(1，) ln x1 ln2 x
10、上恒成立，即a 2 ，对x(1，)恒成立 1 ln2x 1 ln x ( 1 ln x 1 2 ) 1 4 x(1，)，ln x(0，)， 0时，函数t(x) 2 的最小值为 ，a . 1 ln x 1 2 ( 1 ln x 1 2 ) 1 4 1 4 1 4 故实数a的取值范围为 . ( ， 1 4 (2)当a2时，f(x) 2x， x ln x f(x) ln x12ln2x ln2x 2ln x1ln x1 ln2x 由Error!得xe . 1 2 f(x)与f(x)在(1，)上的情况如下表： x (1，e) e 1 2 (e，) f(x) 0 f(x) 极小值f (e) f(x) 极小值 f(e 1 2 ) 2e 1 2 4 . e 1 2 e (3)x1， (2xm)ln xx02xm 0m 2x， x ln x x ln x 方程(2xm)ln xx0在(1，e上有两个不等实根，6 即函数f(x)与函数ym在(1，e上有两个不同的交点 由(2)可知，f(x)在 上单调递减，在 上单调递增且f 4 ，f(e)3e， (1，e) (e，e (e) e 当x1时， ， x ln x 4 m3e， e 故实数m的取值范围是(4 ，3e e
