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1、- 1 - 第三章 - 1 - - 1 - 作者：孟之天 习题三 （1） 12件产品，其中有两件次品，每次任取一只，放回抽样不放回抽样.定义随机 变量 X,Y 如下。 X= Y= 品 ，若第一次取出的是次 若第一次取出的是正品 1 , 0 品 ，若第二次取出的是次 若第二次取出的是正品 1 , 0 分别写出两种情况下 X，Y 的联合分布律。 解：显然此时 X，Y 相互独立 PX=0,Y=0=PX=0PY=0= =25/36 2 (10 /12) PX=0,Y=1=5/36 PX=1,Y=0=5/36 PX=1,Y=1=1/36X,Y 联合分布律为 PX=0,Y=0=PY=0|X=0PX=0=
2、9/11*10/12=45/66 PX=0,Y=1=10/66PX=1,Y=0=10/66 PX=1,Y=1=1/66 X,Y 的联合分布律为 （2）将一硬币抛 3次，X 表示在 3次中正面出现的次数，Y 表示 3次中正面和反面次数之 差的绝对值，求 X，Y 的联合分布律。 解：显然 X 的取值有四种可能，0-3。Y=|X-(3-X)|=|2X-3| Y 的取值由 X 决定，可能取 值为 1,3. PX=0=PX=0,Y=3=1/8 PX=1=PX=1,Y=1=3/8 PX=2=PX=2,Y=1 =3/8PX=3=PX=3,Y=3=1/8 可知 X，Y 的联合分布律为(表 1)表 1 表 2
3、（3） （略） （4） （略）提示若 n=10 则能整除 10的正整数有 1，2，5，10四个，素数有 2，5两个，所以当 n=10 时，d=4 f=2 其余类推可得表 2, 即可写出分布律。 （5）随机变量（X，Y）的概率密度为 f (X,Y)= 其他 , 0 4 2 , 2 0 ), 6 ( p p p p y x y x k 确定常数 k.求 PX1，Y3求 PX1.5求 PX+Y4 解:由 F(+,+)=1 得 = 2 4 0 2 k(6 x y)dydx k =8k=1k=1/8 2 0 6 2xdx PX1,Y3= =3/8 1 3 0 2 1 (6 x y)dydx 8 图 1
4、PX1.5= =27/32 3/ 2 4 0 2 1 (6 x y)dydx 8 Y X 0 1 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 Y X 0 1 0 45/66 10/66 1 10/66 1/66 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 d(n) F(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 Y X 0 1 2 3 1 3/8 3/8 3 1/8 1/8- 2 - 第三章 - 2 - - 2 - 作者：孟之天 PX+Y4= =2/3（图 1） (6) (略) 2 4 x 0 2 1 (6 x y)dydx 8 (7)设二维随
5、机变量(X,Y)的概率密度如下,求边缘概率密度f (x,y)= 其他 , 0 0 , 1 0 ), 2 ( 8 . 4 x y x x y 解: = = X f (x) f (x, y)dy x 0 4.8y(2 x)dy,0 x 1, 0,else 其他 , 0 1 0 , 4 . 2 8 . 4 3 x x x= = = Y f (y) f (x, y)dx 1 y 4.8y(2 x)dx,0 y 1, 0,else 其他 , 0 1 0 ), 4 3 ( 4 . 2 2 y y y y (8) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度如下,求边缘概率密度f (x,y)= 其他 , 0 0 ,
6、y x e y p p = = X f (x) f (x, y)dy y x e dy, x 0 0,else 其他 , 0 0 , f x e x= = = Y f (y) f (x, y)dx y y 0 e dx, y 0, 0,else 其他 , 0 , 0 , f y ye y (9) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度如下,求常数 c求边缘概率密度 f (x,y)= 其他 , 0 1 , 2 2 y x y cx 解: 由 F(+,+)=1 得 =c =(4/21)c=1c=21/4 x cx ydydx 2 1 1 2 1 1 2 4 1 1/ 2x (1 x )dx = = X
7、 f (x) f (x, y)dy 2 1 2 x 21 x ydy, 1 x 1, 4 0,else 其他 , 0 1 1 ), 1 ( 8 21 4 2 x x x= = = Y f (y) f (x, y)dx y 2 y 21 x ydx,0 y 1, 4 0,else 其他 , 0 1 0 , 2 7 2 / 5 y y (10)某公司 9月和 8月的定单数记为 X 和 Y,已知 X 和 Y 的联合分布律如下( 单位%) X Y 51 52 53 54 55 Y 51 52 53 54 55 51 52 53 6 5 5 1 1 7 5 1 1 1 5 10 10 5 5 54 55
8、 5 2 1 1 3 5 6 5 1 3- 3 - 第三章 - 3 - - 3 - 作者：孟之天 求边缘分布律(略)求 8月定单为 51时,9月份定单数的条件分布律. 解:PX=51|Y=51=0.06/(0.06+0.07+0.05+0.05)=6/28 PX=52|Y=51=7/28PX=53|Y=51=5/28 PX=54|Y=51=5/28 PX=55|Y=51=5/28 8月定单为 51时,9月份定单数的条件分布律为 k 51 52 53 54 55 PX=K|Y=51 6/28 7/28 5/28 5/28 5/28 (11)X 为某医院一天出生人数,Y 为男婴个数,已知 X 和
9、 Y 的联合分布律为 PX=n,Y=m= n=0,1,2 m=0,1,2,n 14 m n m e 7.14 6.86 m!(n m)! 求边缘分布律求条件分布律写出当 X=20 时,Y 的条件分布律. 解:(已知联合分布律求边缘分布律,就是要固定一个随机变量的值,而让另一个随机变量取 遍所有可能的值,然后对各概率求和.) (欲求 PX=n,就要固定 X= n,而让 Y 取遍所有的可能的值.显然当出生数 X=n 的时候, 男婴的数量 Y=m 只可能在 0-n 之间 变动) PX=n= PX=n,Y=m= = n m 0 n m 0 n! n! 14 m n m e 7.14 6.86 m!(n
10、 m)! 14 e 1 n! n m 0 m n c m n m 7.14 6.86 = ( 可知 X(14),) 14 e 1 n! n 14 PY=m= = = n m 14 m n m e 7.14 6.86 m!(n m)! 14 m e 7.14 m! n m n m 6.86 (n m)! 14 m e 7.14 m! 6.86 e = ( 可知 Y(7.14), 另 = , = (nm) 7.14 m e 7.14 m! n n 0 n! e n! m!(n m)! m n c (之所以把这样的概率叫做条件概率,就是因为它是在一定条件下的概率,所以在计算条件 概率或条件概率密度的
11、时候,一定要在最前面加上条件,也就是常说的“小帽”) 在 m=0,1,2时 PX=n|Y=m= = (这里 m 应视为常数,因为它是条件) P X=n,Y=m PY=m 6.86 (n m) e 6.86 (n m)! 在 n=0,1,2时 PY=m|X=n= = = P X=n,Y=m PX=n m n m 7.14 6.86 m!(n m)! n n! 14 m n c m n m 0.51 0.49 当 X=20 时, PY=m|X=20= (12)(略) m 20 c m 20 m 0.51 0.49 (13)求第 9题中的 PY3/4|X=1/2(显然要先求条件概率密度 ) 解: 当
12、-1x1 时 = = Y|X f (y | x) X f (x,y) f (x) 取其他 ， y y x x y , 0 1 1 2 2 4 p p- 4 - 第三章 - 4 - - 4 - 作者：孟之天 当 x=1/2 时, = Y|X f (y | x / ) 1 2 取其他 ， y y y , 0 1 4 / 1 ) 15 / 32 ( p p PY3/4|X=1/2= =7/15 1 3/ 4 (32 /15) ydy (14)设随机变量( X,Y)的概率密度如下,求条件概率密度 , Y|X f (y | x) X|Y f (x | y) f (x,y)= (显然要先求边缘概率密度) 其他 , 0 1 0 , | | , 1 p p p x x y 解: = = = X f (x) f (x, y)dy x x 1 dy,0 x 1, 0,else p p 其他 , 0 , 1 0 , 2 p p x x = = = = Y f (y) f (x, y)dx
