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1、2 . 2 . 2 反证法 证法 课前预习导学 堂合作探索 标导航 预习引导 学习目标 1 . 知道反证法的思考过程、特点 . 2 . 会用反证法证明数学问题 . 重点难点 重点 : 反证法的适 用范围 , 思考过程 , 特点及应用 . 难点 : 用反证法证明数学问题 . 证法 课前预习导学 堂合作探索 标导航 预习引导 1 . 反证法 ( 1 ) 反证法是 间接证明 的一种基本方法 . ( 2 ) 一般地 , 假设原命题 不成立 ( 即在原命题的条件下 , 结论不成立 ),经过正确的推理 , 最后得出矛盾 , 因此说明假设错误 , 从而证明了 原命题成立 , 这种证明方法叫做反证法 . (
2、3 ) 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 , 这个矛盾可以是与已知条件 矛盾 , 或与 假设 矛盾 , 或与 定义、定理、公理、事实 矛盾等 . 证法 课前预习导学 堂合作探索 标导航 预习引导 2 . 反证法的一般步骤 用反证法证明命题时 , 要从否定结论开始 , 经过正确的推理 , 导出逻辑矛盾 , 从而 达到新的否定 ( 即肯定原命题 ) 的过程 . 这个过程包括下面三个步骤 : ( 1 ) 反设 假设命题的结论不成立 , 即假设原结论的反面为真 ; ( 2 ) 归谬 由 “ 反设 ” 作为条件 , 经过一系列正确的推理 , 得出矛盾 ; ( 3 ) 存真 由矛盾结果断定反设错误 ,
3、 从而肯定原结论成立 . 即反证法的证明过程可以概括为 : 反设 归谬 存真 . 预习 交流 1 已知 a 是整数 , 求证 : a 也是偶数 . 证明 :假设 a 不是偶数 ,则 a 一定是奇数 . 设 a= 2 n+ 1 ( n 是整数 ), 则 ( 2 n+ 1 )2= 4 4 n+ 1 ,因为 4 ( n2+n ) 是偶数 ,所以 4 ( n2+n ) + 1 是奇数 ,即 这与已知 故假设不成立 ,所以 a 也是偶数 . 证法 课堂合作探索 前预习导学 题导学 当堂检测 一 二 三 一、用反证法证明否定性命题 活动与探究 1 . 反证法有何特点 ? 答 : 反证法不是从正面论证命题的
4、真实性 , 而是考虑证明它的相反命题为假 , 或证明它的等价命题为真 , 间接地达到目的 . 2 . 反证法的原理是什么 ? 答案 : “ 否定之否定等于肯定 ”. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 . 排中律的一般表现形式是 : 或者是 A , 或者是非 A , 即在同一讨论过程中 , A 和非 A 有且只有一个是对的 . 证法 课堂合作探索 前预习导学 题导学 当堂检测 一 二 三 例 1 已知 f ( x ) = - 2 + 1( a 1 ), 证明方程 f ( x ) = 0 没有负根 . 思路分析 : 假设 f ( x ) = 0 的负根 由 0 1 ), 用反证法证明方程 f (
5、x ) = 0 没有负根 . 证明 :方法一 :假设存在 x 0 0 , 0 0 , f ( 0 与 f ( = 0 矛盾 . 故方程 f ( = 0 没有负根 . 证法 课堂合作探索 前预习导学 题导学 当堂检测 一 二 三 当要证的结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可能 ”“ 不存在 ” 等词语的命题 ,此类问题的反面比较具体 ,适于应用反证法 可以先假设它们共面 ,再把假设作为已知条件推导出矛盾 . 证法 课堂合作探索 前预习导学 题导学 当堂检测 一 二 三 二、用反证法证明 “ 至多 ”“ 至少 ” 问题 活动与探究 1 . 反证法的思维过程是什么 ? 答 : 用反证法证明命题
6、 “ 若 p 则 q” , 它的全部过程和逻辑根据可以表示如下 : 肯定条件 p , 否定结论 q 导致逻辑矛盾 “ 若 p 则非 q” 为假 “ 若 p 则 q” 为真 证法 课堂合作探索 前预习导学 题导学 当堂检测 一 二 三 2 . 反证法的一般步骤是什么 ? 答 : ( 1 ) 反设 假定命题的结论不成立 , 即假定原结论的反面成立( 否定结论 ); ( 2 ) 归谬 将 “ 反设 ” 作为条件 , 由此出发经过一系列正确的推理 ,得出矛盾 与已知条件 , 假设 , 已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾 ( 推出矛盾 ); ( 3 ) 存真 因为推理正确 , 所以产生矛盾的原因在于
7、 “ 反设 ” 的谬误 . 既然结论的反面不成立 , 从而肯定了结论成立 ( 结论成立 ) . 简单概括反证法的证明过程就是 “ 反设 归谬 存真 ”. 证法 课堂合作探索 前预习导学 题导学 当堂检测 一 二 三 例 2 若函数 f ( x ) 在区间 a , b 上是增函数 , 那么方程 f ( x ) = 0 在区间 a , b 上至多有一个实根 . 思路分析 :结论中含有词语 “ 至多 ” ,宜采用反证法 ,注意 “ 至多有一个 ” 的否定是 “ 至少有两个 ”. 证明 :假设方程 f ( x ) = 0 在区间 a , b 上至少有两个实根 ,设 , 为其中的两个实根 . 因为 ,不妨设 b , 那么3 3” 时 , 假 设的内容应是( ) A . 假设 3= 3成立 B . 假设 3b ” 的反面是 “a y 或 x b ” 的反面是 “a b” ; 正确 ; 不正确 ,原命题的反面漏掉了 “ 三角形的外心在三角形的边上 ” ; 不正确 ,原命题的反面为“ 最少有两个钝角 ”.
