《【志鸿优化设计-赢在课堂】（人教）2015高中数学选修1-1【精品课件】3-3 导数在研究函数中的应用1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【志鸿优化设计-赢在课堂】（人教）2015高中数学选修1-1【精品课件】3-3 导数在研究函数中的应用1（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 . 3 导数在 研究函数中的应用 3 . 3 . 1 函数的单调性与导数 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 学习目标 1 2 求函数的单调区间 ,求解与函数单调性有关的问题 . 3 体会导数在研究函数中的作用 . 重点难点 重点 :利用导数确定函数的单调性及求单调区间 ; 难点 :利用导数解决不等式问题 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 1 . 函数的单调性与其导数正负的关系 在某个区间 ( a , b ) 内 , 如果 f ( x ) 0 , 那么函数 y =f ( x ) 在这个区间内单调递增 ; 如果 f ( x ) 0 (
2、 f ( x ) 0 . 从而可导函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 上递增 ( 递减 ) 的充要条件是 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 在 ( a , b ) 上恒成立 , 且 f ( x ) 在 ( a , b ) 的任意子区间内都不恒等于零 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 2 . 用导数研究函数单调性的一般步骤 : ( 1 ) 确定函数 f ( x ) 的 定义域 ; ( 2 ) 求 f ( x ), 令 f ( x ) = 0 , 解此方程 , 求出它在定义区间内的一切实根 ; ( 3 ) 把函数 f ( x ) 的间断点 (
3、 即 f ( x ) 的无定义点 ) 的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来 , 然后用这些点把函数 f ( x ) 的定义域分成若干个小区间 ; ( 4 ) 确定 f ( x ) 在各小开区间内的 符号 , 根据 f ( x ) 的符号判定函数 f ( x )在各个相应小开区间内的增减性 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 预习 交流 2 函数 f ( x ) =13 x 的递增区间是 ; 递减区间是 . 提示 : ( - , - 3 ) 和 ( 3 , + ) ( - 3 , 3 ) 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 标导航 预习导引 3
4、. 函数导数与函数变化之间的关系 ( 1 ) 一般地 , 如果一个函数在某一范围内 导数的绝对值较大 , 那么函数在这个范围内变化得快 , 这时 , 函数的图象就比较 “ 陡峭 ” ( 向上或向下 ); 反之 , 函数的图象就比较 “ 平缓 ”. ( 2 ) 如果函数导数大于零 , 即切线的斜率 大于 零 , 则其倾斜角是 锐角 ,函数单调 递增 ; 如果函数导数小于零 , 即切线的斜率 小于 零 , 则其倾斜角是 钝角 , 函数单调 递减 . 预习 交流 3 y= 2 上是增函数 , 其切线斜率大于零 , 倾斜角为锐角 ; 在区间 上是减函数 , 其切线斜率小于零 , 倾斜角为钝角 . 提示
5、 : ( 0 , + ) ( - , 0 ) 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 一、利用导数研究简单函数的单调性及求单调区间 活动与探究 利用导数讨论函数单调性时应注意什么 ? 答 : ( 1 ) 在利用导数讨论函数的单调区间时 , 首先要确定函数的定义域 , 在解决问题的过程中 ,只能在定义域内 . 然 后通过讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调区间 ;( 2 ) 在划分单调区间时 , 除了确定使f ( x ) = 0 的点外 , 还要注意不连续点和不可导点 ;( 3 ) 当求得的单调区间有两个或两个以上时 , 不能把这些区间取并集 . 数的单调性与导数 课前
6、预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 例 1 ( 1 ) 函数 y =x c x - si n x 在下面哪个区间内是增函数( ) A . 2,3 2B. ( , 2 ) C. 3 2,5 2D. ( 2 , 3 ) 思路分析 : 只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可 . 答案 : B 解析 : y = c x - x si n x - c x= - x si n x , 若 y =f ( x ) 在某区间内是增函数 ,只需在此区间内 y 恒大于零即可 . 只有选项 B 符合题意 , 当 x ( , 2 ) 时 , y 0 恒成立 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学
7、当堂检测 ( 2 ) 求函数 f ( x ) =x 的单调区间 . 思路分析 : 求函数的单调区间 , 即求定义域上满足 f ( x ) 0 或 f ( x ) 0 , 2 x+ 1 0 . 令 f ( x ) 0 , 得 x22. f ( x ) 的单调递增区间为 22, + . 由 f ( x ) 0 . 即函数在区间 ( 0 , 2 ) 上是单调递增函数 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 2 . ( 2014 湖北高考 ) 为圆周率 , e = 2 . 71 8 28 为自然对数的底数 . ( 1 ) 求函数 f ( x ) =的单调区间 ; ( 2 )
8、求 3e, e, 3, 3这 6 个数中的最大数与最小数 . 解 : ( 1 ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ) . 因为 f ( x ) =, 所以 f ( x ) =1 - 2. 当 f ( x ) 0 , 即 0 e 时 , 函数 f ( x ) 单调递减 . 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , e ), 单调递减区间为 ( e , + ) . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 ( 2 ) 因为 e 3; 由30 和 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 仍为增函数 ( 减函数的情形与增函数的情形类似 ) . (
9、4 ) 注意在某一区间由 f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 , 得 f ( x ) 在 ( - , - 1 ) 上为增函数 , 当 x ( - 1 , 0 ) 时 , y =x f ( x ) 0 , 所以f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 时 ,由 f ( x ) 0 得 x 1 , 由 f ( x ) 0 得 0 1 . 综上 , 当 a 0 时 , 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 1 , + ), 单调递减区间为( 0 , 1 ); 当 a 0 , f ( x ) 0 ,得 x - t ;由 f ( x ) 0 ,则2 - t
10、. 由f ( x ) 0 ,得 x2;由 f ( x ) 0 时 , f ( x ) 的递增区间为 ( - , - t ), 2, + ,递减区间为 - ,2. 点拨 提示 :求含有参数的函数的单调性时 ,一般要分类讨论 ,注意分类标准要明确 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 迁移与应用 1 . ( 2014 山东高考 ) 设函数 f ( x ) =a x+ - 1 + 1, 其中 a 为常数 . ( 1 ) 若 a= 0 , 求曲线 y =f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) 处的切线方程 ; ( 2 ) 讨论函数 f ( x ) 的单调性 . 解
11、 : ( 1 ) 由题意知当 a= 0 时 , f ( x ) = - 1 + 1, x ( 0 , + ) . 此时 f ( x ) =2( + 1 )2. 可得 f ( 1 ) =12, 又 f ( 1 ) = 0 , 所以曲线 y =f ( x ) 在 ( 1 , f ( 1 ) 处的切线方程为 x - 2 y - 1 = 0 . 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 ( 2 ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ) . f ( x ) =+2( + 1 )2= 2+ ( 2 a + 2 ) x + a ( + 1 )2. 当 a 0 时 , f
12、( x ) 0 , 函数 f ( x ) 在 ( 0 , + ) 上单调递增 . 当 a 0 . 设 所以 x ( 0 , 时 , g ( x ) 0 , f ( x ) 0 , 函数 f ( x ) 单调递增 , x ( + ) 时 , g ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 能推出 f ( x ) 为增函数 ,但反之不一定 . 即 f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件 . f ( x ) 0 时 , f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的充分必要条件 . f ( x ) 为增函数 , 一定可以推出 f ( x ) 0 , 但反之不一定 ,即 f ( x ) 0 是f ( x ) 为增函数的必要不充分条件 . ( 2 ) m f ( x ) 恒成立 m f ( x )m f ( x ) 恒成立 m f ( x )mi n. 数的单调性与导数 课前预习导学 堂合作探究 题导学 当堂检测 1
