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1、直线与方程 (一) 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线 l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0. 则直线l 的倾斜角 的范围是 . 0 2. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点 tan k ，则有斜率公式 . 特别地是，当 ， 时，直线与x 轴垂直，斜率k 1 1 2 2 ( , ), ( , ) P x y P x y 2 1 2 1 y y k x x 1 2 x x 1 2 y y 不存在；当 ， 时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. 1 2
2、 x x 1 2 y y 注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当=90时，斜率 k=0；当 时，斜率 ，随着的增大，斜率k 也增大；当 时，斜率 ，随 0 90 0 k 90 180 0 k 着的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题. 例 1 经过 ( 2,0) A ， ( 5,3) B 两点的直线的斜率是_，倾斜角是_ 例 2 若直线 : 3 l y kx 与直线 2 3 6 0 x y 的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A , 6 3 B , 6 2 C , 3 2 D , 6 2 (二)
3、 两条直线平行与垂直的判定 1. 对于两条不重合的直线 、 ，其斜率分别为 、 ，有： 1 l 2 l 1 k 2 k （1） ；（2） . 1 2 / l l 1 2 k k 1 2 l l 1 2 1 k k 2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；. 例 3 已知过点 ( 2, ) A m 和点 ( ,4) B m 的直线与直线 2 1 0 x y 平行，则m的值为（ ） A 0 B 8 C 2 D10 例 4 直线l过点 ( 1,2) 且与直线 2 3 4 0 x y 垂直，则l的方程是（ ） A3 2 1 0 x y B3 2 7 0
4、x y C 2 3 5 0 x y D 2 3 8 0 x y （三）直线的点斜式方程 1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为k，其方程为 . l 0 0 0 ( , ) P x y 0 0 ( ) y y k x x 2. 斜截式：直线 的斜率为k，在y 轴上截距为b，其方程为 . l y kx b 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线 过点 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为 90， l 0 0 0 ( , ) P x y 斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 . 0 0 x x 0 x x 4. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 ，后
5、者才是整 0 0 y y k x x 0 0 ( ) y y k x x 0 0 0 ( , ) P x y 条直线. 例 5过点P(1,2)且与原点O 距离最大的直线l 的方程（ ）.A. B. C. D. 2 5 0 x y 2 4 0 x y 3 7 0 x y 3 5 0 x y 例 6倾斜角是 ，在 轴上的截距是 3的直线方程是 . 135 o y （四 ）直线的两点式方程 1. 两点式：直线 经过两点 ，其方程为 ， l 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ) P x y P x y 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x 2. 截距式：直线 在x、y轴上
6、的截距分别为 a、b，其方程为 . l 1 x y a b 3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线. 4. 线段 中点坐标公式 . 1 2 PP 1 2 1 2 ( , ) 2 2 x x y y 例 7 （04年全国卷.文 8）已知点A（1，2） 、B（3，1） ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）. A B C D 4 2 5 x y 4 2 5 x y 2 5 x y 2 5 x y 例 8过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 . (4,2) A 五 直线的一般式方程 1. 一般式（general form）： ，注意A、B不同时为0.
7、直线一般式方程 0 Ax By C 化为斜截式方程 ，表示斜率为 ，y轴上截距为 的直线. 0 ( 0) Ax By C B A C y x B B A B C B 2 与直线 平行的直线，可设所求方程为 ；与直线 垂直的直 : 0 l Ax By C 0 Ax By C 0 Ax By C 线，可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 . 0 Bx Ay C 0 0 ( , ) P x y 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y 经过点 ，且平行于直线l的直线方程是 ； 0 M 0 0 ( ) ( ) 0 A x x B y y 经过点 ，且垂直于直线l的直线方程是 . 0 M 0
8、 0 ( ) ( ) 0 B x x A y y 3. 已知直线 的方程分别是： （ 不同时为0） ， （ 不 1 2 , l l 1 1 1 1 : 0 l Ax B y C 1 1 , A B 2 2 2 2 : 0 l A x B y C 2 2 , A B 同时为0） ，则两条直线的位置关系可以如下判别： （1） ； （2） ； 1 2 1 2 1 2 0 l l AA BB 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 / 0, 0 l l AB A B AC A B （3） 与 重合 ； （4） 与 相交 . 1 l 2 l 1 2 2 1 1 2 2 1 0, 0 AB A B AC
9、A B 1 l 2 l 1 2 2 1 0 AB A B 如果 时，则 ； 与 重合 ； 与 相交 . 2 2 2 0 A B C 1 1 1 1 2 2 2 2 / A B C l l A B C 1 l 2 l 1 1 1 2 2 2 A B C A B C 1 l 2 l 1 1 2 2 A B A B 例 9根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是 ，经过点A（8，2） ； （2）经过点B(4，2)，平行于 轴； 1 2 x （3）在 轴和 轴上的截距分别是 ,3； （4）经过两点 （3，2） 、 （5，4）. x y 3 2 1 P 2 P 例 10已知直线 的方
10、程分别是： （ 不同时为 0） ， （ 1 2 , l l 1 1 1 1 : 0 l Ax B y C 1 1 , A B 2 2 2 2 : 0 l A x B y C 不同时为 0） ，且 . 求证 . 2 2 , A B 1 2 1 2 0 AA BB 1 2 l l 六 两条直线的交点坐标 1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解，则两条 1 1 1 2 2 2 0 0 Ax B y C A x B y C 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有 无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重
11、合. 2. 方程 为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0 Ax B y C A x B y C 与 的交点. 1 1 1 0 Ax B y C 2 2 2 0 A x B y C 例 11直线 ：2 3 12与 ： 2 的交点坐标为 . 1 l x y 2 l x y 例 12 （07年上海卷.理 2）若直线 与直线 平行，则 1 2 1 0 l x my ： 2 3 1 l y x ： m 七 两点间的距离 1. 平面内两点 ， ，则两点间的距离为： . 1 1 1 ( , ) P x y 2 2 2 ( , ) P x y 2 2 1 2
12、1 2 1 2 | | ( ) ( ) PP x x y y 特别地，当 所在直线与x 轴平行时， ；当 所在直线与y 轴平行时， 1 2 , P P 1 2 1 2 | | | | PP x x 1 2 , P P；当 在直线 上时， . 1 2 1 2 | | | | PP y y 1 2 , P P y kx b 2 1 2 1 2 | | 1 | | PP k x x 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3） 把代数运算的结果“翻译”成几何关系. 例 13已知点 ，判断 的类型 (1,2), (3,4), (5,0) A B
13、C ABC 例 14已知 ，点 为直线 上的动点求 的最小值，及取最小值时 (1,0) ( 1,0) M N 、 P 2 1 0 x y 2 2 PM PN 点 的坐标 P 八 点到直线的距离及两平行线距离 1. 点 到直线 的距离公式为 . 0 0 ( , ) P x y : 0 l Ax By C 0 0 2 2 | | Ax By C d A B 2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线 ， 之间的距 1 1 : 0 l Ax By C 2 2 : 0 l Ax By C 离公式 ，推导过程为：在直线 上任取一点 ，则 ，即 1 2 2 2 | | C C d A B 2 l 0 0 ( , ) P x y 0 0 2 0 Ax By C . 这时点 到直线 的距离为 0 0 2 Ax By C 0 0 ( , ) P x y 1 1 : 0 l Ax By C 0 0 1 1 2 2 2 2 2 | | | | Ax By C C C d A B A B 例 15 已知点 (1,3), (3,1), ( 1,0) A B C ，求ABC 的面积 例 16 已知直线l经过直线 2 5 0 x y 与 2 0 x y 的交点若点 (5,0) A 到l的距离为3，求l的方程
