《考研数学解题妙招集锦（四）可导性判别难题得分百分百》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学解题妙招集锦（四）可导性判别难题得分百分百（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考研数学解题妙招集锦（四）：可导性判别难题得分百分百 与函数的可导性判别相关的题目在选择题中属常见考查题型。可导的定义同学们都知 道，但是这一类题目却经常造成严重的失分状况，归根到底还是对定义的理解和掌握不够 透彻，或者在函数极限运算方面不熟练。保证此类题目不丢分的秘诀就是：第一，严格依 据可导的定义进行判断；第二，熟练准确进行函数极限运算。做到以上两点，所有这类看 起来好像很难的题目均可在三分钟之类轻松破解： 【例 2.12 】设 ，则 在点 可导的充要条件为 (0) 0 f ( ) f x 0 x (A) 存在 2 0 1 lim (1 cosh) h f h (B) 存在 0 1 lim
2、 (1 ) h h f e h (C) 存在 2 0 1 lim ( sinh) h f h h (D) 存在 0 1 lim (2 ) ( ) h f h f h h 【分析】当 时， 在点 可导的充要条件是极限 (0) 0 f ( ) f x 0 x 0 0 ( ) (0) ( ) (0) lim lim 0 x x f x f f x f x x 存在。因此四个答案中，关键是找出哪一个是与这个极限存在等价的。 【详解】 令 ，则 ，可见若 在点 可导，则 1 h e x 0 0 1 ( ) lim (1 ) lim ln(1 ) h h x f x x f e h x x ( ) f x
3、 0 x 极限 存在，而极限 存在且等于 ，故 存在且等于 0 ( ) lim x f x x 0 lim ln(1 ) x x x 1 0 1 lim (1 ) h h f e h ；反过来，若 存在，则( ) (0) f 0 1 lim (1 ) h h f e h 1 h e x 0 ( ) lim x f x x 0 0 (1 ) (1 ) lim lim 1 h h h h h f e h f e h e h 存在，即 在点 可导。因此正确选项为(B) 。 ( ) f x 0 x 至于(A)，(C) ，(D) 均为必要而非充分条件，可举反例说明。比如， ，在 ( ) f x x 处不
4、可导，但 0 x 2 2 2 0 0 0 1 cosh 1 1 cosh 1 lim (1 cosh) lim lim 2 h h h f h h h 2 2 3 0 0 0 sinh 1 sinh lim ( sinh) lim lim 0 h h h h h f h h h h h 均存在， 可排除(A)，(C)； 又如 在 处不可导，但 1, 0, ( ) 0, 0. x f x x 0 x 0 0 1 1 1 lim (2 ) ( ) lim 0 h h f h f h h h 存在，进一步可排除(D)。 【评注】 1) 某些常见的不可导函数，如 在 处不可导，应该熟练掌握，这是典型的
5、 ( ) f x x 0 x 反例。事实上，在高等数学中每一章节的常见范例均应该适当记忆。 2) (A)，(C) ，(D) 也可由分析论证排除。例如对(A)，如果 在点 可导，即 ( ) f x 0 x 存在，则 (0) f 2 2 2 0 0 0 1 (1 cosh) (0) (1 cosh) (0) 1 cosh 1 1 lim (1 cosh) lim lim (0) (0) 1 cosh 2 2 h h h f f f f f f f h h h 存在，故必要性成立。但是如果 存在，记 ，则当 2 0 1 lim (1 cosh) h f h 1 cosh u 0 h 时，恒有 ，而不
6、是 ，因此，由 存在只能推出右导数 0 u 0 u 2 0 1 lim (1 cosh) h f h 存在，而不能推出 存在，即充分性不成立。(C)，(D)可作类 0 ( ) (0) (0) lim 0 x f x f f x (0) f 似讨论得出其为必要而非充分条件。一元函数的导数与微分看似简单，然而做题的时候稍不留神就会陷入出题人设置的 “陷阱”当中。避免在此处丢冤枉分的一条重要法则就是透彻理解定义、计算细致准确。 首先认真梳理教材上关于基本定义、性质及几何意义等多方面内容的讲述，带着自己的深 入思考与理解认真研究考研数学高等数学过关与提高（上） 中“导数与微分”一章中对 此部分疑点、难点的解析，熟记老师在书中总结的重要公式与结论，定能彻底攻克这一部 分的各类题型，做到得分百分百！
