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1、 1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。 注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标 轴正方向为正，反之为负。 （2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿 坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反 之为负。 1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。 2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程 的适用条件是什么？【解答】 （1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是： 物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题
2、）中，平衡微分方程和几何方程 都适用。 （2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹 性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应 力问题的物理方程中的E换位 ， ，就得到平面应变问题的物 2 1 E 1 换为 理方程。 2-8 试列出题2-8图（a） ，题 2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部 边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 【解】 （1）对于图（a）的问题 在主要边界 上，应精确满足下列边界条件： 0, x x b 0 ( ) , ( ) , x x x
3、 x b gy gy 0 ( ) 0 ( ) 0 xy x xy x b ； 。 在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：0 1 ( ) , y y gh ( ) 0 yx 。 在小边界（次要边界） 上，有位移边界上条件： 这 2 y h 2 2 ( ) 0,( ) 0 y h y h u v 。 两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替， 当板厚 时， 1 2 2 2 1 2 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) 0, ( ) 0 b y y h b y y h b yx y h dx g h h b xdx dx 。 （2）对于图（b）所示问题
4、在主要边界 上，应精确满足下列边界条件： / 2 y h / 2 / 2 ( ) 0, ( ) , y y h y y h q / 2 1 / 2 ( ) ( ) 0 yx y h yx y h q ； 。 在次要边界 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚 0 x 时， 1 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 ( ) , ( ) , ( ) h x x N h h x x h h xy x S h dy F ydy M dy F 。 在次要边界 上，有位移边界条件： 这两个位移边界条件 x l ( ) 0,( ) 0 x l x l u v 。 可以改用
5、三个积分的应力边界条件来代替 / 2 1 / 2 2 / 2 1 / 2 / 2 / 2 ( ) , ( ) , 2 2 ( ) h x x l N h h x x l S h h xy x l S h dy ql F qlh ql ydy M F l dy ql F 。 2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应 力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？ 【解】 （1）对于图（a） ，上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为 ， ， 。应用圣维南原理，列出三 / 2 N F qb S F =0 2 0 ( ) /12 2 b qx b M x dx
6、qb b 个积分的应力边界条件，当板厚 时， 1 0 0 2 0 0 2 0 2 ( ) 2, ( ) 12, ( ) 0 b y y b y y b yx y b dx qb xdx qb dx 。 （2）对于图（b） ，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚 时， 1 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 2, ( ) 12, ( ) 0 b y y b y y b yx y dx qb xdx qb dx 。 所以，在小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问 题为静力等效的。 2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】 （1）用位
7、移表示的平衡微分方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 1 2 2 1 1 ( ) 0 1 2 2 x y E u u u f x y x y E v v u f y x x y （2）用位移表示的应力边界条件 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 1 ( ) ( ) 1 2 x x y x E u v u v l m f x y y x E v u v u m l f y x x y （3）位移边界条件 ( ) ,( ) ( ) s s u u u v v s 。在上 2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】 （1）平衡微分方程 0
8、, 0 yx x x y xy y f x y f y x 。 （2）相容方程 。 2 ( ) (1 )( ) y x x y f f x y （3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件， ） s s /. ( ) , ( ) x yx x y xy y l m f m l f 。 s s （在上） （4）若为多连体，还须满足位移单值条件。 2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答： （a）题2-13图（a） ， 。 2 2 , 0 x y xy y q b （b）题2-13图（b） ，由材料力学公式， （取梁的厚度 , S x xy F S M y I bI b=1） ，得出所示问题的解
9、答： 。 3 2 2 2 3 3 3 2 , ( 4 ) 4 x xy x y qx q h y lh lh 又根据平衡微分方程和边界条件得出 。 3 3 3 2 2 2 y q xy xy qx q lh lh l 试导出上述公式，并检验解答的正确性。 【解】按应力求解时， （本题体力不计） ，在单连体中应力分量 必须满 , , x y xy 足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设 ） 。 s s （1） 题2-13图（a） ， 2 2 , 0 x y xy y q b 相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23） ， 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 0 x y q
10、x y b 不满足相容方程。 平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程 0 0 yx x y xy x y y x 显然满足。 应力边界条件：在 边界上， x a 。 2 2 ( ) ,( ) 0 x x a xy x a y q b 在 边界上， y b 。 ( ) 0,( ) 0 y y b yx y b 满足应力边界条件。 （2） 题2-13图（b） ，由材料力学公式， （取梁的厚度 , S x xy F S M y I bI b=1） ， 得出所示问题的解答： 。又根据平衡微分俄 3 2 2 2 3 3 3 2 , ( 4 ) 4 x xy x y qx q h y lh lh 方程和边界
11、条件得出 。试导出上述公式，并检验解答的 3 3 3 2 2 2 y q xy xy qx q lh lh l 正确性。 推导公式： 在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形， 其对z轴（中性轴）的惯性距 ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程 3 12 z h I 和剪力方程分别为 。 2 3 ( ) , ( ) 6 2 S q qx M x x F x l l 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为 ， 3 3 ( ) 2 x z M x y x y q I lh 。 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 4 3 (1 ) ( 4 ) 2 4 S xy F x y q
12、 x h y bh h lh 根据平衡微分方程的第二式（体力不计） ， 0 y xy y x 得到 。 3 3 3 2 2 y q xy xy q A lh lh 根据边界条件 2 ( ) 0, y h y 得 ， 2 q x A l 所以 。 3 3 3 2 2 2 y q xy xy q x q lh lh l 相容条件： 将应力分量代入相容方程 。 2 2 2 2 3 24 ( )( ) 0 x y qxy x y lh 不满足相容方程。 平衡方程： 将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 应力边界条件： 在主要边界 上，应精确满足下列边界条件： 2 y h / 2 / 2 ( ) , (
13、 ) 0, y y h y y h qx l / 2 / 2 ( ) 0 ( ) 0 yx y h yx y h 。 。 自然满足。 在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。有三个积分的应力边界条 件：/ 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy 。 在 次要边界上， 。这两个位移边界条件可以改用积分的 x l ( ) 0,( ) 0 x l x l u v 应力边界条件来代替。3 / 2 / 2 3 / 2 / 2 3 2 / 2 / 2 3 / 2 / 2 3 / 2 / 2 2
