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1、- 1 - 2017北京市高考压轴卷 文科数学 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设常数 aR，集合A= ，B= .若 0 ) a ( ) 1 ( x x x 1 a x x AB=R，则a的取值范围为（ ） （A） （，2） （B） （，2 （C） （2，+） （D）2，+） 2.已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围 ( ) (ln ) f x x x ax a 是 A B C ( , 0) 1 (0, ) 2 (0,1) D(0, ) 3.将函数 的图象向左平移
2、个单位长 3cos sin ( ) y x x x R ( 0) m m 度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A B C 12 6 3 D 5 6 4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p 是“甲降落在指定范围” ，q 是“乙降落在指定范围” ，则 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A B C ( ) p ( ) q p ( ) q ( ) p ( ) q - 2 - D p q 5.函数 在区间 上的最小值是 ( ) sin 2 4 f x x 0, 2 (A) (B) 1 2 2 (C) (D) 0 2 2 6.如图，在正方体 中， 为对角线 的
3、三等分点， 1 1 1 1 ABCD ABC D P 1 BD 则 到各顶点的距离的不同取值有（ ） P A 个 B 个 C 个 3 4 5 D 个 6 7.执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） S A B 1 2 3- 3 - C D 13 21 610 987 8.下面是关于公差 的等差数列 的四个命题： 0 d n a 1 : n p a 数列是递增数列； 2 : n p na 数列是递增数列；3 : n a p n 数列是递增数列； 4 : 3 n p a nd 数列是递增数列； 其中的真命题为 （A） （B） （C） （D） 1 2 , p p 3 4 , p p 2 3 ,
4、p p 1 4 , p p- 4 - 第卷（非选择题 共110分） 二、填空题（共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分） 9.方程 的实数解为 . x 3 1 1 3 9 x 10.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考 试中，男、女生平均分数分别是 75、80，则这次考试该年级 学生平均分数为 . 11. 设a + b = 2, b0, 则 的最小值为 . 1 | | 2| | a a b 12. 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦 2 8 y x 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b 点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为 . 13.
5、 在四边形 中， ， ，则该四边形的 CD A C 2,4 A uuu r D 2,1 uuu r 面积为_ 14.设 为不等式组 所表示的平面区域，区域 上的 D 0 2 0 3 0 x x y x y D 点与点 之间的距离的最小值为 。 (1,0) 三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演 算步骤或证明过程） 15.（本小题满分 13 分） 在 ABC 中， 2 2 3=4 cos A cosA (1)求角 A 的大小； (2)若 2 a ，求 ABC 的周长 l 的取值范围- 5 - 16 (本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S
6、= x + y + z 评价该产品的等级. 若S4, 则该产品为一等品. 现从一批该 产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) () 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; () 在该样品的一等品中, 随机抽取 2 件产品, - 6 - () 用产品
7、编号列出所有可能的结果; () 设事件B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合 指标S 都等于 4”, 求事件B 发生的概率. 17.（本小题共 13 分） 已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 P ABCD ABCD 平面 ， 分别是线段 的中点. 2, 1, AD AB PA ABCD , E F , AB BC （1）证明： ； PF FD （2）若 ，求点 到平面 的距离. 1 PA E PFD 18.（本小题满分共 13 分）- 7 - 已知函数 ，曲线 在点 处切 2 ( ) ( ) 4 x f x e ax b x x ( ) y f x (0, (0) f 线方程为 。
8、 4 4 y x （）求 的值； , a b （）讨论 的单调性，并求 的极大值。 ( ) f x ( ) f x 19(本小题满分 14 分) 设椭圆 的左焦点为F, 离心率为 , 过点F 且与 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b 3 3 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 4 3 3 () 求椭圆的方程; () 设A, B 分别为椭圆的左,右顶点, 过点F 且斜率为k 的直 线与椭圆交于C, D 两点. 若 , 求k 的值. 8 AC DB ADCB uuu r uuu r uuu r uuu r- 8 - 20.（本小题共 14 分） 给定数列 ， ， ， 。对 ，
9、该数列前 项 1 a 2 a L L n a 1,2,3, , 1 i n L i 的最大值记为 ，后 项 ， ， ， 的最小值记为 ， i A n i 1 i a 2 i a L L n a i B 。 i i i d A B （1）设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值。 n a 3 4 7 1 1 d 2 d 3 d （2）设 ， ， ， （ ）是公比大于 的等比数列， 1 a 2 a L L n a 4 n 1 且 ，证明 ， ， ， 是等比数列。 1 0 a 1 d 2 d L L 1 n d （3）设 ， ， ， 是公差大于 的等差数列，且 ， 1 d 2 d L L 1 n
10、 d 0 1 0 d 证明 ， ， ， 是等差数列。 1 a 2 a L L 1 n a 试卷答案 1.B 2.- 9 - 3.- 10 - 4. 5.B- 11 - 6 7 8.B 9.【Ks5u 答案】log 3 4 10. 【Ks5u 答案】78 11. 【Ks5u 答案】 3 4 12. 【Ks5u 答案】 2 2 1 3 y x - 12 - 13. 【Ks5u 答案】5 【Ks5u 解析】根据题意， ，所以 ，且 4 4 0 AC BD uuu r uuu r AC BD ，从而有该四边形的面积为 2 5, 5 AC BD 1 2 5 5 5 2 S 14. 15. 【Ks5u 答
11、案】- 13 - (1)因为 ，所以 ， 2 2 3 4 cos A cosA 2 1 2 2cos 2 cos A A 所以 ， 2 4 4 1 0 cos A cosA 所以 . 1 cos 2 A 又因为 ，所以 . 0 A 3 A (2)因为 ， ， ， sin sin sin a b c A B C 3 A 2 a 所以 ， 4 4 sin , sinC 3 3 b B c 所以 . 4 2 2 sin sinC 3 l b c B 因为 ， 2 3 B C 所以 . 4 2 2 sin sin 2 sin 3 6 3 l B B B 又因为 ，所以 ，所以 2 0 3 B 1 si
12、n 1 2 6 B 4,6 l 【Ks5u解析】 （1）根据倍角公式可将已知等式转化为关于 的二次方程，解方程求得 的值，进而得到角 的大小； cosA cosA A （2）根据正弦定理可将三角形的边长用对应角的正弦值表示， 列出周长 的表达式并利用两角和与差公式化为关于角 的三 l B 角函数，进而根据三角函数的值域求得周长 的取值范围. l 16.- 14 - 17. 【Ks5u 答案】 (1)证明：连接 ，则 ，又 AF 2, 2 AF DF ，又 平面 ， 2 2 2 2, , AD DF AF AD DF AF PA , ABCD DF PA 又 平面 ，又 平面 . , PA AF A DF PAF PF , PAF DF PF (2) ， 5 3 2 4 4 EFD ADE BEF CDF ABCD S S S S S Q 平面 ， 1 1 3 1 1 3 3 4 4 P EFD EFD V S PA - 15 - ，解得 ，即点 到 1 1 6 1 , 3 3 2 4 E PFD P EFD E PFD PFD V V V S h h Q 6 4 h E 平面 的距离为 . PFD 6 4 18. 19. - 16 - 20.- 17 - 18 -
