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1、 1 初二数学同步辅导教材（第1 讲） 【教学进度】代数第二册 8.1 8.2 【主要内容】1因式分解2提公因式法3运用公式平方式差公式分解因式 【重点、难点剖析】一因式分解1定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式。2对因式分解应在以下几方面加深理解（1）多项式的因式分解是对多项式而言，把一个单项式写成几个单项式的积的形式， 不属于因式分解。如：-6a 3 b 3 =(2a 2 b).(-3ab 2 )这个变形就不属于因式分解。（2）将一个多项式局部化成积的形式，亦不属于因式分解。如：ma-mb+c=m(a-b)+c 这 个变形不属于因式分
2、解。（3）整式乘法和多项式的因式分解是互逆的两个变形，其关系如下：单项式单项式整式乘法 单项式多项式多项式多项式 多项式的因式分解（4）因式分解是代数中的一种重要恒等变形，乘法公式在因式分解中有着重要的作用。如：分解因式（1）9a 2 -4b 2, (2)16x 2 -8xy+y 2解：（1）9a 2 -4b 2 =（3a+2b）(3a-2b)(2)16x 2 -8xy+y 2 =(4x-y) 2这里都是利用乘法公式对多项式进行恒等变形，达到因式分解的目的。二提公因式法1公因式：若多项式中各项都含一个公共的因式，则该因式叫做这个多项多的公因 式。如何找一个多项式的公因式，方法是：一看系数、二看
3、字母。公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母取相同字母，并且是相同字母的最低次幂。如：多项式 9x 3 y- 12x 2 y 2 +18x 2 y 3 z 各项系数的最大公约数是 3，各项都会有相同的字母 x,y，x的指数最低是 2，y的指数最低是 1，因此，公因式为 3x 2 y。2提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号前，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法分解因式的一般步骤是：（1）找出各项的公因式。（2）写出公因式与另一个多项式的积（这里的另一个多项式是原多项式除以公因式所 得的商式） 。其中步骤（1）是提公因式法的关
4、键。3几点提醒（1）当一个多项式提出公因式以后，括号里再也不能提出式子出来了。（2）提公因式以后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。如：分解因式 4a 3 - 反过来 2 6a 2 b+2a 提公因式 2a 后，剩下的另一个因式应是 2a 2 -3ab+1。（3）如果多项多的第一项系数是负数时，例如：-12x 2 y-16xy 2 ，先要提出“-”号，使括 号内的第一项的系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提公因式： -12x 2 y-16xy 2 = -(12x 2 y+16xy 2 )= -4xy(3x+4y)(4) 如果多项式的某一项恰巧就是公因式，那么提出公因式后，要在该项的
5、位置上添 “1” 。（5）如果多项式中项的系数含有分数，那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应 化为整数。三运用公式法平方差公式1把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的分法叫做 运用公式法。2运用平方差公式分解因式时，通常先把它们转化为两个单项式的平方差的形式，进 而与公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)对照，分清哪一项相当于公式中的 a,哪一项相当于公式中的 b,最 终写出分解结果，如：分解因式-16+64a 2 ，原式=64a 2 -16=(8a) 2 -4 2 =(8a+4)(8a-4)=16(2a+1) (2a-1)3当分解后的多项式中各项系数有公
6、约数时，仍必必须提出，如 2中所举例题。例 1下列各式由左边到右边的变形哪些是因式分解，哪些不是？（1）x 2 +x=x 2 (1+ ) x 1(2) a 2 -17=(a+4)(a-4)+1(3) (a+b)(a-b)=a 2 -b 2（4）x 2 y+xy 2 =xy(x+y)=x 2 y+xy 2(5) 9+x 2 =(3+x)(x-3)解：（1） （2） （3） （4）都不是因式分解；（5）是因式分解 点评：因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式；（1）题虽然也是积的 形式，但 1+ 不是整式；（2）题的结果是（a+4）(a-4)+1 的和的形式，而不是积的形式； x 1
7、（3）题是整式的乘法，与因式分解运算刚好相反；（4）题分解到半路又做乘法运算回去 了；（5）题则以定义去衡量，完全符合。例 2把 因式分解 n n n ab ab b a 3 2 3 4 9 8 1 1 2 解：原式= ) 3 6 4 ( 9 2 b ab ab n 点评：如果多项式中的系数含有分数，那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为 整数，如果多项式的首项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的首项系数是正数， 同时括号内的其他各项都要变号。例 3把一列各式分解因式（1）a(a-b) 2 +(b-a) 3(2) (b+c)x+(c+a)x+(a+b)x解：（1）原式= a(a-
8、b) 2 +(b-a) 3=(a-b) 2a-(a-b)=(a-b) 2(a-a+b)=b(a-b) 2(2) 原式=x(b+c+c+a+a+b)=x(2a+2b+2c) 3=2x(a+b+c) 点评：（1）题首先把(b-a) 3 改写成-(a-b) 3 ；因式分解后各个因式要进行化简；因式分解的 结果，单项式要写在多项式的前面。 （2）题提取的公因式后，括号内的因式要进行化简，有公因式的还需提出公因式， 每个因式必须分解到不能分解为止。例 4把(b-a) 2 -2a+2b 因式分解解：原式=(a-b) 2 -2(a-b)=(a-b)(a-b-2) 点评：本题进行了两次提取公因式，一次局部，一
9、次整体。以创造条件把多项式因式(a-b) 提出，达到因式分解的目的。例 5用简便方法计算 33+11 2 +66解：原式=11（3+11+6）=11 20=220 点评：本题对给出的式进行因式分解，以简化计算。例 6把-16(2a-b) 2 +9(a-3b) 2 因式分解解：原式=3(a-3b) 2 -4(2a-b) 2=3(a-3b)+4(2a-b)3(a-3b)-4(2a-b)=(11a-13b)(-5a-5b)=-5(a+b)(11a-13b) 点评：平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)中的字母 a,b 不仅表示单项式，也可表示多项式，3(a-3b)相 当于 a, 4(2
10、a-b)相当于 b;分解后的结果应化为最简形式，在化简过程中，要正确使用去括号 法则和分配律，对于化简后得到的因式，可以分解的应继续分解，如本题中化简后得到的 (-5a-5b), 应写成-5(a+b)的形式。 例 7把下列各式分解因式（1） （2）a 3 (a-b) 2 -a(a+b) 2 x x 8 2 1 5 解：（1）原式= ) 16 ( 2 1 4 x x= ) 4 )( 4 ( 2 1 2 2 x x x= ) 4 )( 2 )( 2 ( 2 1 2 x x x x（2）原式=aa 2 (a-b) 2 -(a+b) 2 =aa(a-b)+(a+b)a(a-b)-(a+b)=a(a 2
11、 -ab+a+b)(a 2 -ab-a-b) 点评：（1）本例属于先提取公因式再运用平方差公式分解因式的类型。（2）要特别提醍的是，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，这是因 式分解的一个基本要求，必须遵守。（3）因式分解的结果中通常不保留中括号 例 8把 4x 2 -9y 2 -(2x+3y)解：原式=(4x 2 -9y 2 )-(2x+3y)=(2x+3y)(2x-3y)-(2x+3y)=(2x+3y)(2x-3y-1) 点评：本题先局部运用平方差公式再整体提取公式，达因式分解目的。 例 9证明 5 8 -1解被 2030之间的两个整数整除思路分析：可能通过用公式法对 5 8 -
12、1进行因式分解。 4 解：5 8 -1=(5 4 ) 2 -1=(5 4 +1)(5 4 -1)=(5 4 +1)(5 2 ) 2 -1=(5 4 +1)(5 2 -1)(5 2 +1)=(5 4 +1)(25-1)(25+1)=2426262 5 8 -1解被24和26整除 【巩固练习】1下列各题中从左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）x 2 +2x-3=x(x+2)-3 (2) 6a 2 b-3ab 2 =3ab(2a-b) （3）-2m(m+n)= -2m 2 -2mn (4) x 2 -12x+36=(x-6) 2(5) ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b
13、)2ab+5ab 2 -2b 2 的公因式为 .3a 2 +ab 与 a 2 -ab 的公因式为 .4把-12m 3 +8m 2 -4m 分解因式为 .5分解因式-mx 2 +m 2 x+mx= .6分解因式 =m(a+b+c)7把 3a(x-b)-9b(b-x)分解因式= .8将-m 4 +m 2 n 2 因式分解的结果是（ ） （A） （-m 2 +mn）(-m 2 -mn) (B) m 2 (m 2 +n 2 )(C) m 2 (m+n)(m-n) (D) m 2 (n+m)(n-m)9将 x 2 (x-y) 2 -y 2 (y-x) 2 因式分解的结果是（ ）（A）(x-y) 2 (x
14、 2 +y 2 ) (B) (x-y) 2 (x 2 -y 2 )(C) (x-y) 2 (x-y)(x+y) (D) (x-y) 3 (x+y)10分解因式 48(x+y+z) 2 -75(x-y-z) 2 = .11把下列各式分解因式 （1）25x 4 -75x 5(2) 2x 2n -4x n(3) b(a+b) 2 +b 2 (a+b)(4) (m+n)(n-m)-n(m+n)(m-n)(5) a(a+b-c)-b(c-a-b)-c(b-c+a)(6) a 2 (a+2b) 2 -9(x+y) 212用简便方法计算 13.7 31 17 5 . 2 31 17 8 . 19 31 17 13把 x(a-2) n -y(2-a) n 分解因式
