《连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1.9连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理 1 设函数 f(x)和 g(x)在点 x 0 连续 则函数 f(x)g(x) f(x)g(x) (当 时) ) ( ) ( x g x f 0 ) ( 0 x g 在点 x 0 也连续 f(x)g(x)连续性的证明 因为 f(x)和 g(x)在点 x 0 连续 所以它们在点 x 0 有定义 从而 f(x) g(x) 在点 x 0 也有定义 再由连续性和极限运算法则 有 ) ( ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0 0 0 x g x f x g x
2、f x g x f x x x x x x 根据连续性的定义 f(x)g(x)在点 x 0 连续 例 1 sin x 和 cos x 都在区间( )内连续故由定理 3知 tan x 和 cot x 在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x cos x sec x csc x tan x cot x 在其有定义的区间内都 是连续的 二、反函数与复合函数的连续性 定理 2 如果函数 f(x)在区间 I x 上单调增加(或单调减少)且连续 那 么它的反函数 x f1 (y)也在对应的区间 I y y|y f(x) x I x 上单调增加 (或单调减少)且连续 证明（略）2 例 2 由于 ysi
3、n x 在区间 上单调增加且连续 所以它的反函 2, 2 数 yarcsin x 在区间1 1上也是单调增加且连续的 同样yarccos x 在区间1 1上也是单调减少且连续 y arctan x 在 区间( )内单调增加且连续yarccot x 在区间( )内单调减 少且连续 总之 反三角函数 arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x 在它们的定 义域内都是连续的 定理 3 设函数 y fg(x)由函数 yf(u)与函数 ug(x)复合而成 若 而函数 yf(u)在 连续 则 g f D x U o o ) ( 0 0 ) lim 0 u x g x x 0 u
4、 ) ( ) ( lim ) lim 0 0 0 u f u f x g f u u x x 简要证明 要证 0 0 当 0|xx 0 | 时 有|fg(x) f(u 0 )| 因为 f(u)在 连续 所以 0 0 当|uu 0 | 时 有|f(u) f(u 0 )| 0 u 又 g(x)u 0 (x x 0 ) 所以对上述 0 0 当 0|x x 0 | 时 有 |g(x)u 0 | 从而|fg(x)f(u 0 )| (2)定理的结论也可写成 求复合函数 fg(x)的 ) ( lim ) ( lim 0 0 x g f x g f x x x x 极限时 函数符号 f 与极限号可以交换次序
5、表明在定理 3的条件下 如果作代换 ug(x) 那 ) ( lim ) ( lim 0 0 u f x u f u u x x 么求 就转化为求 这里 ) ( lim 0 x g f x x ) ( lim 0 u f u u ) ( lim 0 0 x g u x x 3 把定理 5 中的 x x 0 换成 x 可得类似的定理 例 3 求 9 3 lim 2 3 x x x 解 9 3 lim 2 3 x x x 9 3 lim 2 3 x x x 6 1 提示 是由 与 复合而成的 9 3 2 x x y u y 9 3 2 x x u 函数 在点 连续 g(x 0 ) 9 3 lim 2
6、 3 x x x 6 1 u y 6 1 u 定理 4 设函数 y fg(x)由函数 yf(u)与函数 ug(x)复合而成 U(x 0 ) D f og 若函数 ug(x)在点 x 0 连续 函数 y f(u)在点 u 0 g(x 0 )连续 则 复合函数 yf (x)在点 x 0 也连续 证明 因为(x)在点 x 0 连续 所以 (x) (x 0 )u 0 0 lim x x 又 yf(u)在点 uu 0 连续所以 f (x) f(u 0 ) f (x 0 ) 0 lim x x 这就证明了复合函数 f (x)在点 x 0 连续 例 4 讨论函数 的连续性 x y 1 sin 解 函数 是由
7、 y sin u 及 复合而成的 x y 1 sin x u 1 sin u 当0 a 1)对于一切实数 x 都有定义且在区 间( )内是单调的和连续的 它的值域为(0 ) 由定理 4 对数函数 loga x (a0 a 1)作为指数函数 a x 的反函数在区 间(0 )内单调且连续 幂函数 yx 的定义域随的值而异 但无论为何值 在区间(0 ) 内幂函数总是有定义的可以证明 在区间(0 )内幂函数是连续的 事实上 设 x0 则 yx 因此 幂函数 x 可看作是由 y a u u log a x 复合而成 x a a log 的 由此 根据定理 6 它在(0 )内是连续的如果对于取各种不 同值
8、加以分别讨论 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 最后 根据初等函数的定义 由基本初等函数的连续性以及本节有 关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续 的 所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间 初等函数的连续性在求函数极限中的应用 如果 f(x)是初等函数 且 x 0 是 f(x)的定义区间内的点 则 f(x)f(x 0 ) 0 lim x x 例 5 求 2 0 1 lim x x 解 初等函数 f(x) 在点 是有定义的 2 1 x 0 0 x 所以 1 1 1 lim 2 0 x x5 例 6 求 x x sin ln l
9、im 2 解 初等函数 f(x)ln sin x 在点 是有定义的 20 x 所以 0 2sin ln sin ln lim 2 x x 例 7 求 x x x 1 1 lim 2 0 解 x x x 1 1 lim 2 0 ) 1 1 ( ) 1 1 )( 1 1 ( lim 2 2 2 0 x x x x x 0 2 0 1 1 lim 2 0 x x x 例 8 求 x x a x ) 1 ( log lim 0 解 x x a x ) 1 ( log lim 0 x a x x 1 0 ) 1 ( log lim a e a ln 1 log 例 9 求 x a x x 1 lim 0
10、 解 令 ax 1t 则 x loga (1t) x 0 时 t 0 于是 x a x x 1 lim 0 a t t a t ln ) 1 ( log lim 0 1 10 闭区间上连续函数的性质 一、最大值与最小值 最大值与最小值 对于在区间 I上有定义的函数 f(x) 如果有 x 0 I 使得对于任一 x I 都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0) 则称 f(x 0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值（最小值） 6 例如 函数 f(x)1sin x 在区间0 2上有最大值 2和最小值 0 又如 函数 f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1和最小值1 在开区 间(0
11、)内 sgn x 的最大值和最小值都是 1 但函数 f(x) x 在开区间 (a b)内既无最大值又无最小值 定理 1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上 一定能取得它的最大值和最小值 定理 1说明 如果函数 f(x)在闭区间a b上连续 那么至少有一点 1 a b 使 f( 1 )是 f(x)在a b上的最大值 又至少有一点2 a b 使 f( 2 )是 f(x)在a b上的最小值 注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么 函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例 在开区间(a b) 考察函数 y x 又如 如图所示的函数在闭区间0 2上无最大值和最小值
12、 2 1 3 1 1 1 0 1 ) ( x x x x x x f y 定理 2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 二、介值定理 零点 如果 x 0使 f(x 0)0 则 x 0称为函数 f(x)的零点 定理 3（零点定理）设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且 f(a)与 f(b)7 异号 那么在开区间(a b)内至少有一点使 f( )0 定理 4（介值定理）设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且在这区间的 端点取不同的函数值 f(a) A 及 f(b) B 那么 对于 A 与 B 之间的任意一个数 C 在开区间(a b)内至少有一 点 使得 f( )C 定理 4（介值定理）设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且 f(a) f(b) 那么 对于 f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C 在开区间(a b)内至少有 一点 使得 f( )C 证 设(x) f(x) C 则(x)在闭区间a b上连续 且(a) AC 与(b) BC 异号 根据零点定理 在开区间(a b)内至少有一点 使得 ()0 (a b) 但() f( )C 因此由上式即得 f( )C (a b) 定理 4 的几何意义 连续曲线弧 y f(x)与水平直线 y C 至少交于一 点 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之 间的任何值
