《【随堂优化训练】2014年数学（人教a版）必修5配套课件：2.6 数列求和（数学备课大师网 为您整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【随堂优化训练】2014年数学（人教a版）必修5配套课件：2.6 数列求和（数学备课大师网 为您整理）（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 6 数列求和 【 学习目标 】 1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式 2会用错位相减法、裂项相消法求一些简单数列的前 n 项 和 1等差、等比数列的求和 (1)等差数列 求和公式为 _ _ (2)等比数列 求和公式为 _ S n n a 1 a n n 12 d S n ， q 1 ，a 1 1 q q a 1 a n q ， q 12一般数列求和的常用方法 (1)裂项相消法： 把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消 去中间项，只剩下有限项再求和 (2)错位相减法： 给 边同乘一个适当的数或式子， 然 后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前 n 项和 前 n
2、项求和，其中 等差 数列， 等比数列 (3)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数 列 (4)倒序相加法：如等差数列前 n 项和公式的推导 B 练习 1 ： 数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 a n 1n n 1 ，则 S 5 ( ) A 1 a n 1n n 1 1n1n 1， S 5 a 1 a 2 a 5 1 121213 1516 1 1656. 练习 2 ： 数列 22 ， 42 2 ， 62 3 ， ， 2 n2 n ， 前 n 项的和为 _ . S n 4 n 22 n 1 解析： 设 2422 623 2 1222 423 624 2 1 ， 由 ，得1 1
3、22222 223 224 22n 2 1 2 12n 1 2 1 . 4 n 22n 1 . 【 问题探究 】 1当数列 一个等差数列或 等比数列时，用什么方法 求和？ 答案： 公式法 2等差数列的求和公式是用什么方法推导出来的？等比数 列呢？ 答案： 等差数列的求和公式是用倒序相加法推导出来的， 等比数列的求和公式是用错位相减法推导出来的 题型 1 公式法求和 【 例 1】 已知在等差数列 ， 1， 3. (1)求数列 通项公式； (2)若数列 前 k 项和 35，求 k 的值 解： (1)设等差数列 公差 d， 则 (n 1)d， 由题设 ， 得 3 2d 1 d 2. 1 (n 1)(
4、 2) 3 2n. (2) 因为 S k k a 1 a k 2 k 1 3 2 k 2 k (2 k ) 35 ， 所以 2k 35 k 7或 k 5. 因为 k N*， 所以 k 7. 【 变式与拓展 】 1求和： 22 23 24 2n 3 _. 解析： 这是一个以 4 为首项， 2 为公比的等比数列的求和问题，其项数为 ( n 3) 2 1 n 2 ， S n 2 4 1 2n 21 2 2n 4 4. 2n 4 4 题型 2 分组法求和 【 例 2】 设 公比为正数的等比数列， 2， 4. (1)求 通项公式； (2)设 首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 前 n 项和 若一
5、个数列是由等比数列和等差数列组成，则 求和时，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的分 组求和 解： (1)设 公比 ， 则由 2， 4，得 22q 4， 即 q 2 0. 解得 q 2或 q 1(舍去 ) 所以 q 2. 所以 通项公式为 22n 1 2n(n N*) (2) S n 2 1 2n 1 2 n 1 n n 1 2 2 2n 1 n 2 2. 【 变式与拓展 】 2 (2012年广东韶关二模 )已知等比数列 前 n， 1， 且 23 (1)求数列 通项公式； (2)设 n， 求数列 前 n. 解： (1)设数列 公比为 q， 若 q 1， 则 1,244,399. 但 3
6、10 2 2与已知矛盾 ， 故 q 1. 根据 S n a 1 1 1 q 1 q q ， 且 23 32 2 即 1 3 1 q 4 1 q. 解得 q 13或 q 0( 舍去 ) 113n 1. (2) 由 (1) ，得 n 13n 1 n . 则 ( 1) ( 2) ( n ) (1 2 n ) 1 q 1 n 1313 1 n n 3 n 12. 题型 3 裂项相消法求和 【例 3 】 求数列 11 3 ，13 5 ， ，1 2 n 1 2 n 1 ， 的前n 项和 解：11 313 5 1 2 n 1 2 n 1 12 1 1313151517 12 n 112 n 112 1 12
7、 n 1n2 n 1. 在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具 有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项常见的拆项公 式有： 1n n 1 1n 1n 1 ； 1 2 n 1 2 n 1 12 12 n 1 12 n 1 ； 1n n 1 n 1 n . 【 变式与拓展 】 3 (2013年大纲 )在等差数列 ， 4， 2 (1)求 通项公式； (2) 设 b n 1数列 b n 的前 n 项和 S n . 解： (1) 设等差数列 的公差为 d ，则 ( n 1) d . 因为4 ，2 以6 d 4 ，18 d 2 8 d 1 ， d 12. 所以 的通项公式为 ann 12. (2) n
8、n 1 21n1n 1， 所以 21 121213 1n1n 12 1. 题型 4 错位相 减法求和 【 例 4】 求和： 1 3x 57 (2n 1) 1(x 0) 解： 当 x 1时 ， 1 3 5 (2n 1) 当 x 1时 ， 1 3x 57 (2n 1)1， x 357 (2n 3)1 (2n 1)两式相减，得 (1 x ) S n 1 2 x (1 x 2) (2 n 1) 1 (2 n 1) x 1 1 x 1. S n 2 n 1 1 2 n 1 x 1 x 1 2 . 【 变式与拓展 】 4设数列 前 n 项和为 2等比数列，且 b2( (1)求数列 通项公式； (2) 设
9、c n a 数列 c n 的前 n 项和 T n . 解： (1)当 n 1时 ， 2； 当 n 2时 ， 1 22(n 1)2 4n 2. 故数列 通项公式为 4n 2， 即数列 首项 2， 公差 d 4的等差数列 设数列 b n 的公比为 q ，则 b 1 b 1 . d 4 ， q 14. 故 b n b 1 1 2 14n 1 ，即 b n 的通项公式为 b n 24n 1 . (2) cn n 224n 1 (2 n 1)4n 1， 1 3 41 5 42 (2 n 1) 4n 1 4 1 4 3 42 5 43 (2 n 3)4n 1 (2 n 1)4n 两式相减，得 3 1 2(41 42 43 4n 1) (2 n 1)4n13(6 n 5)4n 5 9(6 n 5) 4n 5 易错分析： 本题的处理易忽略已知条件 而导致解答错 误，因而在审题的时候要仔细认真 【例 5 】 设各项为正数的等比数列 a n 的首项 a 1 12 ，前 n 项和为 210(210 1)0. (1)求 通项公式； (2)求 nSn
