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1、难点 15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象 和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. 难点磁场 ()已知、为锐角，且x(+ )0,试证不等式f(x)= 2 x 2对一切非零实数都成立. ) sin cos ( ) sin cos ( x 案例探究 例 1设z 1 =m+(2m 2 )i,z 2 =cos+(+sin)i,其中m,R，已知z 1 =2z 2 ，求 的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转 化思想的运用，属级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和
2、二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次 函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题 转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：z 1 =2z 2 ， m+(2m 2 )i=2cos+(2+2sin)i, sin 2 2 2 cos 2 2 m m =12cos 2 sin=2sin 2 sin1=2(sin ) 2 . 4 1 8 9 当 sin= 时取最小值 ，当 sin=1时，取最大值 2. 4 1 8 9 解法二：z
3、1 =2z 2 sin 2 2 2 cos 2 2 m m , 2 2 2 sin 2 cos 2 m m =1. 4 ) 2 2 ( 4 2 2 2 m m m 4 (34)m 2 +4 2 8=0,设t=m 2 ,则 0t4,令f(t)=t 2 (34)t+4 2 8,则 或f(0)f(4)0 0 ) 4 ( 0 ) 0 ( 4 2 4 3 0 0 f f 0 2 2 0 4 3 4 5 8 9 或 或 0或 02. 8 9 的取值范围是 ，2. 8 9 例 2如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑 至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率 v 0 不为，并以倾角起
4、跳，落至B 点，令OB=L，试问， =30时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，为多 大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运 用数学知识来解决物理问题的能力.属级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解 决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程： 2 0 0 2 1 sin 4 sin cos cos gt v L h t v L S 由整理得：v 0 cos= . 2 1 sin sin ,
5、cos 0 gt t L v t L v 0 2 +gLsin= g 2 t 2 + =gL 4 1 2 2 t L 2 2 2 2 4 1 2 t L t g 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh= mv 0 2 , 2 1 v 0 2 =2gh,L =200(m) ) sin 1 ( 2 ) sin 1 ( 2 0 g gh g v 即L max =200(m),又 g 2 t 2 = . 4 1 2 2 2 2 2 t L t h S cos 2 2 cos cos , 2 0 g L gh t v L S g L t 得 cos=cos,=30L 最大值为 200米，当L 最大
6、时，起跳仰角为 30. 例 3如下图，某地一天从 6时到 14时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式. 命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数 知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属 级题目. 知识依托：依据图象正确写出解析式. 错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母. 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是 3010=20()； (2)图中从 6时到
7、14时的图象是函数y=Asin(x+)+b 的半个周期的图象. =146,解得 = ,由图示A= (3010)=10，b= (30+10)=20，这时 2 2 1 8 2 1 2 1 y=10sin( x+)+20,将x=6,y=10 代入上式可取= .综上所求的解析式为y=10sin( x+ 8 4 3 8 )+20,x6,14. 4 3 锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图 象的基础上要对三角函数的性质灵活运用. 2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和 逻辑思维能
8、力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强. 3.三角函数与实际问题的综合应用. 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在 解题中的应用. 歼灭难点训练 一、选择题 1.()函数y=xcosx 的部分图象是( )2.()函数f(x)=cos2x+sin( +x)是( ) 2 A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题 3.()函数f(x)=( ) cosx 在，上的单调减区间为_. 3 1 4.()设 0，若函数f(x)=2sinx 在 ， 上单调递增，则的取 4 ,
9、3 值范围是_. 三、解答题 5.()设二次函数f(x)=x 2 +bx+c(b,cR),已知不论 、为何实数恒有f(sin) 0和f(2+cos)0. (1)求证：b+c=1； (2)求证c3； (3)若函数f(sin)的最大值为 8，求b，c 的值. 6.()用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出 一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值. 7.()有一块半径为R，中心角为 45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的 矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工 人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最
10、大面积值. 8.()设 x ，求函数y=log 2 (1+sinx)+log 2 (1sinx)的最大值和最小值. 6 4 9.()是否存在实数a，使得函数y=sin 2 x+acosx+ a 在闭区间 8 5 2 3 0， 上的最大值是 1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由. 2 参考答案 难点磁场 证明：若x0，则 + 、为锐角，0 ;0 2 2 2 2 ,0sin( )sin.0sin( ) 2 2 2 sin，0cossin,0cossin,0 1,0 1,f(x)在(0,+) sin cos sin cos上单调递减，f(x)f(0)=2.若x0,+ ,、为锐角， 2 0
11、 ,0 ,0sinsin( ), 2 2 2 2 2 sincos,0sinsin( ),sincos, 1, 1, 2 sin cos sin cos f(x)在(,0）上单调递增，f(x)f(0)=2,结论成立. 歼灭难点训练 一、1.解析：函数y=xcosx 是奇函数，图象不可能是 A 和 C，又当x(0, )时， 2 y0. 答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin( +x)=2cos 2 x1+cosx 2 =2(cosx+ 1. 8 1 ) 2 2 1 2 答案：D 二、3.解：在,上，y=cosx的单调递增区间是 ,0及 ,. 2 2 而f(x)依cosx取值的递增而递减
12、,故 ,0及 ,为f(x)的递减区间. 2 2 4.解：由 x ，得f(x)的递增区间为 , ，由题设得 2 2 2 2 . 2 3 0 , 2 3 : 4 2 3 2 , 2 , 2 4 , 3 解得 三、5.解：(1)1sin1且f(sin)0恒成立，f(1)0 12+cos3,且f(2+cos)0 恒成立.f(1)0. 从而知f(1)=0b+c+1=0. (2)由f(2+cos)0,知f(3)0,9+3b+c0.又因为b+c=1,c3. (3)f(sin)=sin 2 +(1c)sin+c=(sin ) 2 +c( ) 2 , 2 1 c ) 2 1 ( c 当 sin=1 时， f(s
13、in) max =8,由 解得b=4,c=3. 0 1 8 1 c b c b 6.解：如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA=x，OB=y，则 a 2 =x 2 +y 2 2xycos2xy2xycos=2xy(1cos).0,1cos0,xy (当且仅当x=y 时取“=”号)，故此时 ) cos 1 ( 2 2 a 谷仓的容积的最大值V 1 =( xysin)b= .同理，若木板短边着地时， 2 1 2 cos 4 1 ) cos 1 ( 4 sin 2 2 b a b a 谷仓的容积V 的最大值V 2 = ab 2 cos , 4 1 2 ab,V 1 V 2 从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积 最大，其最大值为 a 2 bcos . 4 1 2 7.解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设AOP=，则 QOP=45，NP=Rsin,在PQO 中， ， 135 sin ) 45 sin( R PQ PQ= Rsin(45).S 矩形MNPQ =QPN
