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1、课程设计 班 级： 通信 084 姓 名： 张边疆 学 号： 0806030421 指导教师： 王 诗 成 绩： 原理 数字 课程设计报告 电子与信息工程学院 通信工程系1.循环码的概述： 循环码是线性分组码的一个重要子集，是目前研究得最成熟的一类码。 它有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构 造这类码，且易于实现；同时循环码的性能也较好，具有较强的检错和纠 错能力。 循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中 任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。若（ ）为一循环码组，则（ ） 、 （ ） 、还是许用码组。也就是说，不论是左移还是
2、右移，也不论移多 少位，仍然是许用的循环码组。给出一种（7，3）循环码的全部码字。由 此表可以直观地看出这种码的循环特性。例如，表中的第 2码字向右移一 位，即得到第 5码字；第 6码字组向右移一位，即得到第 3码字。为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个 多项式被称为码多项式，对于循环码可以将它的码多项式表示为：对于二进制码组，多项式的每个系数不是 0就是 1，x仅是码元位置的 标志。因此，这里并不关心 x的取值，任一码组可以表示为： 在整数运算中，有模 n运算。例如，在模 2运算中，有 1+120（模 2） ，1+231（模 2） ，2360（模 2）等。因此，若一
3、个整数 m 可 以表示为: 则在模 n运算下，有 mp（模 n） ，也就是说，在模 n运算下，一整数 m 等于其被 n除所得的余数。在码多项式运算中也有类似的按模运算法则。 若一任意多项式 F(x)被一个 n次多项式 N(x)除，得到商式 Q(x)和一个次数 小于 n的余式 R(x)，也就是： 则可以写为：F(x)R(x)（模 N(x)） 。这时，码多项式系数仍按模 2运 算，即只取值 0和 1，假设：计算 x4+x2+1 除以 x3+1 的值可得： 注意，在上述运算中，由于是模 2运算，因此，加法和减法是等价的， 在式子中通常用加法运算符，具体模 2运算的规则定义如下： 模 2加 0 + 0
4、 = 0， 0 + 1 = 1， 1 + 0 = 1， 1 + 1 = 0；模 2乘 00 = 0， 01 = 0， 10 = 0，11 = 1。在循环码中，若 A(x)是一个长为 n的可用码组，则在按 模运算下，亦是一个可用码组，也就是假如：（模） ，可以证明亦是一个可 用码组，并且，正是 A(x)代表的码组向左循环移位 i 次的结果，其码长 n7，现给定 i3，则： 其对应的码组为 0101110，它正是上述表中第 3码字，通过上述分析可 以得到一个重要的结论：一个长度为 n的循环码，它必为按模（ ）运 算的一个余式。 2.循环码的生成多项式和生成矩阵：（全 0 码字代表真除外）称为生成多
5、项式，用 g(x)表示。可以证明生成 多项式 g(x)具有以下特性： （1）g(x)是一个常数项为 1的 r=n-k 次多项式；（2）g(x)是的一个因式；（3）该循环码中其它码多项式都是 g(x)的倍式。 为了保证构成的生成矩阵 G 的各行线性不相关，通常用 g(x)来构造生 成矩阵，这时，生成矩阵 G(x)可以表示成为：其中，因此，一旦生成多项式 g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就 可以确定，进而该循环码的所有码字就可以确定，若生成矩阵不是典型形 式，可以通过线性代数变换将它变成典型矩阵。现以（7，3）循环码为例， 来构造它的生成矩阵和生成多项式，这个循环码主要参数为， n7，k3，r
6、4。从表中可以看到，其生成多项式可以用第 1码字构造： 在上面的例子中，是利用给出的（7，3）循环码的所有码字，构造了 它的生成多项式和生成矩阵。但在实际循环码设计过程中，通常只给出码 长和信息位数，这就需要设计生成多项式和生成矩阵，这时可以利用 g(x) 所具有基本特性进行设计。首先，生成多项式 g(x)是的一个因式，其次 g(x)是一个 r次因式。因此， 就可以先对进行因式分解，找到它的 r次因式。下面仍以（7，3）循环码为 例进行分析。第一步：对 进行因式分解得： 第二步：构造生成多项式 g（x） ，为了求（7，3）循环码的生成多项式 g(x)，要从分解的因式中找到 r=n-k 次的因子
7、。不难看出，这样的因子有两 个，即：以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不同，产 生出的循环码码组就不同。用其中一个作为生成多项式产生的循环码即可以得到循环 码全部码字。当然，在利用式 G(x)得到生成矩阵 G 以后，可以通过线性变化，使之成为典型矩 阵，这时就可以得到相应的监督矩阵 H。除此之外，还可以利用循环码的特点来确定 监督矩阵 H。3.循环码的编方法： 编码过程在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式 g(x)，也就是从的因子中选一个（n-k）次多项式作为 g(x)；然后，利用循 环码的编码特点，即所有循环码多项式 A(x)都可以被 g(x)整除，来定义生
8、 成多项式 g(x)。 根据上述原理可以得到一个较简单的系统循环码编码方法：设要产生 （n,k）循环码，m(x)表示信息多项式，则其次数必小于 k，而 m(x)的次数 必小于 n，用 m(x)除以 g(x)，可得余数 r(x)，r(x)的次数必小于（n-k） ，将 r(x)加到信息位后作监督位，就得到了系统循环码。下面就将以上各步处理 加以解释。（1）用 乘 m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n-k）个 “0” 。例如，信息码为 110，它相当于 m(x)x+x。当 n-k7-34时， m（x） + ，它相当于 1100000。而希望的到得系统循环码多项 式应当是 A(x) = m(
9、x) + r(x)。（2）求 r(x)。由于循环码多项式 A(x)都可以被 g(x)整除，也就是： 因此，用除以 g(x)，就得到商 Q(x)和余式 r(x)，即 这样就得到了 r(x)。（3）编码输出系统循环码多项式 A(x)为： 例如，对于（7，3）循环码，若选用，信息码 110时，则： 上式相当于：1100000/10111=111+（0101/10111） 这时的编码输出为：1100101。 上述三步编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路来实现，这里的 除法电路采用一些移位寄存器和模 2加法器来构成。下面将以（7,3）循环 码为例，来说明其具体实现过程。设该（7,3）循环码的生成多项
10、式为：， 则构成的系统循环码编码器如图，图中有 4个移位寄存器，一个双刀双掷 开关。当信息位输入时，开关位置接“2” ，输入的信息码一方面送到除法 器进行运算，一方面直接输出；当信息位全部输出后，开关位置接“1” ， 这时输出端接到移位寄存器的输出，这时除法的余项，也就是监督位依次 输出。当信息码为 110时，编码器的工作过程如图： 4.matlab 实现： Matlab 中循环码的编码程序设计 MATLAB 实现语句。 clear n=input(请输入循环码的码长 n=); k=input(请输入循环码的信息码长 k=); gx=zeros(k,n);G=zeros(k,n);H=zeros(n-k,n); g=input(请输入生成多项式的系数 a,b, 次数由高到低,如：1 0 1n); %产生生成矩阵 gx for m=1:k gx(m,m:n-k+m)=g; end %典型生成矩阵 G 和一致校验矩阵 H h=eye(k)/gx(:,1:k); gx=h*gx; G=rem(abs(gx),2) H=cat(2,(G(:,k+1:end),eye(n-k) Matlab 中实现截图：5.simulink 实现仿真：
