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1、第五章 二次型自测题解答 1 二次型的矩阵表示 一、填空题 1 （A） （B） （C） （D） ； 2. 5 2 2 1 ； 3. 4 3 3 2 ；4. 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 ； 5. 4 0 0 1 ； 6， 2 2 2 1 2 1 4 6 x x x x ； 7. 2 2 2 1 2 1 2 2 x x x x ; 8.二次型. 二、判断题 1.F ； 2.T； 3.F ；4.T ； 5.F. 三、解答题 1证明 根据条件存在可逆的 2 1 ,C C ，使 2 2 2 2 1 1 1 , B BC C A C A C ，令 2 1 0 0
2、 C C C ，则 C 可逆，且 2 2 1 1 B A C B A C .故 1 1 B A ， 2 2 B A 合同. 2证明：如果取 T i X ) 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ( ) ( L L 利用已知条件可以得出 ) , 2 , 1 ( 0 n i a ii L ，在取 T j i X ) 0 , 0 , 1 , 0 ( ) ( ) ( L L L ，利用已知条件容易得出 ) ( 0 j i a ij .证毕. 2 标准形 1解（1）用配方法： 2 3 2 2 3 2 1 2 3 3 2 2 2 3 2 3 1 2 1 3 3 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 2
3、 2 1 ) 2 1 ( 4 ) ( ) 4 1 ( 4 ) 2 2 2 ( 6 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 2 3 2 1 3 2 1 2 1 z x z x x z x x x 即 3 3 3 2 2 3 2 1 1 2 1 2 3 z x z z x z z z x ， 则 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 2 2 1 4 1 6 2 2 3 z z x x x x x x x x . (2)用合同变换法二次型矩阵为 0 3 1 3 3 1 1 1 1 A ，对A施行合同变换： 1
4、0 0 2 1 1 0 2 3 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 2 0 0 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 1 3 3 1 1 1 1 ，所以令 CY X ，则 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 2 2 1 4 6 2 2 3 y y x x x x x x x x .其中 1 0 0 2 1 1 0 2 3 1 1 C . （2）配方法 令 3 3 2 1 2 2 1 1 x y x x y x x y ，则 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 3 3 1 2 1
5、 3 2 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 2 4 2 ) 2 1 ( 4 2 ) 4 1 ( 4 4 4 4 2 2 4 z z z y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x 其中 3 3 2 2 3 1 1 4 1 y z y z y y z .对两个线性替换合成得到 3 3 3 2 3 1 1 8 5 8 3 z x z x z z x . 合同变换法：二次型矩阵为 0 1 1 1 0 2 1 2 0 A ，对A施行合同变换： 1 0 0 10 3 2 1 1 5 1 2 1 1 5 1 0 0 0 5 0 0 0 4 1 0 0 4 1 2
6、1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 0 2 1 5 0 0 0 4 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 4 2 1 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 2 1 2 0 ，所以令 CY X ， 2 3 2 2 2 1 3 2 3 1 2 1 5 1 5 4 2 2 4 y y y x x x x x x ，其中 1 0 0 10 3 2 1 1 5 1 2 1 1 C . 2.证明：因为 n O 2 1 对应的二次型是 2 2 2 2 2 1 1 ) ( n n x x x X f L .作 非退化的线性线性替换： in n i i x y x
7、 y x y K 2 1 2 1 ，则二次型化为 2 2 2 2 1 2 1 ) ( n i i i y y y X f n L ，而 2 2 2 2 1 2 1 ) ( n i i i y y y X f n L 的矩阵是 n i i i O 2 1 .故 n O 2 1 与 n i i i O 2 1 合同.其中 n i i i , , , 2 1 L 是 n , , 2 , 1 L 的一个排列. 3.解：（1） 1 0 0 3 2 1 0 3 1 1 1 3 5 0 0 0 3 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 1 1 1 3 2 0 2 3 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0
8、 0 0 1 5 4 2 4 5 2 2 2 2 E A ，取 1 0 0 3 2 1 0 3 1 1 1 C ，则 3 5 3 2 AC C . （2） 1 0 0 2 1 0 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 2 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 2 1 2 0 2 2 E B .， 取 1 0 0 2 1 0 2 1 1 C ，则 0 1 2 BC C . 4.证明：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵 C ，使 C d d C A r 0 0 1 O O ， 令 r r r D D D d d
9、 d d L O O L O O O 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ， 则 C D C C D C C D C A r L 2 1 ，其中 ) , , 2 , 1 ( r I C D C i L 为秩为1 的矩阵. 3 唯一性一、 填空题 1. 2 2 1 r y y L ， 0 0 1 1 O O； 2.有相同的秩，秩 相同； 3.秩与惯性指标形同，秩与惯性指标相同；4. 1 n ；5. ) 1 ( 2 1 n n . 二、 解答题 1解（1） 2 2 2 1 2 ) 1 ( ) ( ix x x i x f 矩阵的秩为 2 ，所以它的规范型是 2 2 2 1 y y . (2)
10、4 3 2 1 4 3 2 1 2 2 ) , , , ( x x x x x x x x f 的秩为 4 ，所以它的规范型是 2 4 2 3 2 2 2 1 y y y y . 2解 利用配方法或合同变换法容易求出它的规范型为： 2 3 2 2 2 1 y y y ，故 其秩是 3，正惯性指标 2，负惯性指标为 1，符号差 1. 3证明：因为 , 2p r q p 所以r与 q p 有相同的奇偶性.又因为 r q r p 0 , 0 ，所以 r q p r . 4证明：设矩阵的秩为r，则 BC C S ，其中 0 0 1 1 O O B ， 显然 B B 2 ，因此 BC A A A BC BC BBC C BC C S , ) ( ) ( . 4 正定二次型 一、填空题 1非零的， 0 ， 2 2 2 2 1 n y
