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1、1 立体几何专题复习补充讲义 一、专题热点透析高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力， 解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础 题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题； 证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位 置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关 系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查， 算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互
2、转 化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中， 即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。 二、热点题型范例 题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离；题型三、探索性问题 题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题 三、空间向量的应用 1异面直线所成的角 设 a、b 是异面直线， ， 分别是直线 a,b 上的向量，则异面直线 a,b 所成的角 AB CD CD , AB 2 , CD , AB 2 CD , AB 0 , CD , AB 2点、面距离：设平面的一个法向量为 ，点 P 是平面外一点，且 。则点 n 0 P P
3、到平面的距离为 。 | n | | n P P | d 0 3.解决有关垂直问题的方法： （1） 线线垂直 ab=0 （2） 线面垂直 al 1 =0 al 2 =0（其中l 1 、 l 2 为平面内两条相交直线） （3） 面面垂直 N 1 N 2 =0 （N 1 、N 2 分别是两个平面的法向量2 1已知 A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则 与 的夹角为( ) AC AB A30 B45 C60 D90 2已知正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1， ，点 N 为 B 1 B 的中点，则线段 AM 1 2 MC MN 的长度为( ) A. B. C
4、. D. 21 6 6 6 15 6 15 3 3如图，点 P 是单位正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中异于 A 的一个顶点，则 的值为 AP AB A0 B1 C0 或 1 D任意实数 4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c 三向量共面， 则实数 等于( ) A. B. C. D. 62 7 63 7 64 7 65 7 5已知a(1,2x1，x)，b(x2,3，3)，若ab，则 x_. 6.（2011年高考浙江卷文科4)若直线 不平行于平面 ，且 ，则 l a l a (A) 内的所有直线与 异面 (B) 内不存在与 平行的直线 a l a
5、l (C) 内存在唯一的直线与 平行 (D) 内的直线与 都相交 a l a l 7. （2011年高考四川卷文科6) 1 l ， 2 l ， 3 l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A） 1 2 2 3 , l l l l 1 l / 2 l （B） 1 2 l l , 1 l / 3 l 1 3 l l （C） 1 l / 2 l / 3 l 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 （D） 1 l ， 2 l ， 3 l 共点 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 8 （2011年高考重庆卷文科10)高为 2 的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1的正方形， 点 S 、 A、
6、 B、C、 D均在半径为 1的同一球面上，则底面 ABCD的中心与顶点 S 之间的距离为 A 10 2B 2 3 2 C 3 2D 2 9. （2011年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周 都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的 3 16 高与体积较大者的高的比值为 . 10. （2011年高考四川卷文科15)半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，3 球的表面积与圆柱的侧面积之差是 . 11.（2011年高考全国卷文科8)已知直二面角 ，点 为垂足， l , , A AC l C 为垂足，若 则 到平面
7、 的距离等于 , , B BD l D 2, 1, AB AC BD D ABC （A） （B） （C） （D） 2 3 3 3 6 3 1 12设在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，ABACAA 1 2，BAC90， E，F 依次为 C 1 C，BC 的中点 (1)求异面直线 A 1 B、EF 所成角 的余弦值； (2)求点 B 1 到平面 AEF 的距离 13如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB2，BC4，E 是 PD 的中点 (1)求证：平面 PDC平面 PAD； (2)求点 B 到平面 PCD 的距离；(2)方法 1：过 A 作 AFPD，
8、垂足为 F.l ABCDE4 14.如图，长方体 1 1 1 1 ABCD A B C D 中， 2 DA DC ， 1 3 DD ， E是 1 1 C D 的中点， F 是CE的中点. (1)求证： / EA 平面 BDF ； (2)求证：平面 BDF 平面 BCE . 15在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAAB4，G 为 PD 中点，E 点在 AB 上，平面 PEC平面 PDC. （）求证：AG平面 PCD； （）求证：AG平面 PEC； （）求点 G 到平面 PEC 的距离. P A G D C B E 1 B 1 A 1 C 1 D B A
9、C D E F5ADMCBNPQ 16已知四棱锥 中 平面 ，且 ，底面为直角梯形， P ABCD PA ABCD 4 4 PA PQ 分别是 的中点 0 90 , CDA BAD 2, 1, 2, AB CD AD , M N , PD PB （1）求证： / 平面 ； MQ PCB （2）求点 到平面 的距离 A MCN 17. 在如图 4所示的几何体中， ， ， ， ABC AE 平面 AE CD / 的中点 是BE F ， 90 , 2 2. ACB AE CD 1 BC AC（）求证： 平面 ； / DF ABC （）求证： 平面 ； DF ABE （）求三棱锥 的体积. BCE D
10、 F E D C B 图 4 A M6 18. 已知直角梯形 中, , 过 作 ABCD / AB CD , 1, 2, 1 3, AB BC AB BC CD A ,垂足为 , 的中点,现将 沿 折叠,使得 AE CD E G、F分别为A D、C E ADE AE . DE EC （1）求证： ； / FG BCD 面 （2）设四棱锥 D-ABCE 的体积为 V，其外接球体积为 ，求 V 的值. / V : / V A B C D E G F A B C D E G F 19.如图1，直角梯形 ABCD中， / / , 90 AD BC ABC o ， , E F 分别为边 AD和 BC上的
11、 点，且 / / EF AB， 2 2 4 4 AD AE AB FC 将四边形 EFCD沿 EF 折起成如图 2的位置，使 AD AE （1）求证： BC /平面 DAE； （2）求四棱锥 D AEFB 的体积. A B E F C D A C D E F B 图 1 图 27 20如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面 AB O E F O AB EF ABCD 和圆 所在的平面互相垂直，且 ， . O 2 AB 1 AD EF （1）求证： 平面 ； AF CBF （2）设 的中点为 ，求证： 平面 ； FC M OM DAF （3）设平面 将几何体 分成的两个锥
12、CBF EFABCD 体的体积分别为 ， ， F ABCD V F CBE V 求 F ABCD V : F CBE V 21.如图是以正方形 ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为 截面，且 2 BC AB ， 1 AE , 2 DH BF ， 3 CG （）证明：截面四边形 EFGH 是菱形； （）求几何体 EFGH C 的体积 F A E C O B D M G F C A D B H E8 22. （2011年高考江西卷文科18) (本小题满分12分） 如图，在 交AC于 = 2, 2 ABC B AB BC P AB 中，为边上一动点，P D / / B
13、 C 点D,现将 , PDA . PDA PD PDA PBCD 沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥 的体积最大时，求PA的长； A PBCD （2）若点P为AB的中点，E为 . AC B DE 的中点，求证：A9 立体几何专题复习补充讲义 一、专题热点透析高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力， 解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础 题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题； 证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位 置关系的判定与向量运算相结合
14、，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关 系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查， 算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转 化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中， 即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。 二、热点题型范例 题型一、平行与垂直的证明；题型二、空间角与距离；题型三、探索性问题 题型四、折叠、展开问题；题型五、表面积与体积问题 三、空间向量的应用 1异面直线所成的角 设 a、b 是异面直线， ， 分别是直线 a,b 上的向量，则异面直线 a,b 所成的角 AB CD CD , AB 2 , CD , AB 2 CD , AB 0 , CD , AB 2点、面距离：设平面的一个法向量为 ，点 P 是平面外一点，且 。则点 n 0 P P 到平面的距离为 。 | n | | n P P | d 0 3.解决有关垂直问题的方法： （1） 线线垂直 ab=0 （2） 线面垂直
