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1、1 构造因式处理一类三元问题 江苏省常熟市中学 査正开 215500 15335296105 【问题】 且 ，求 的值域 , , x y z R 2 2 2 1 x y z x y z xyz 这是一道美国数学月刊的征解题， 数学通报和中学数学月刊都刊登了有关作者 的初等解法。笔者经过探索，得出了更简捷的解法，并由此归纳出此类问题的统一处理方 法。 解：设 ， 且 ， ， t x y z , , x y z R Q 2 2 2 1 x y z 0 , , 1 x y z 则 ， ， 2 2 2 1 t x y z x y z 2 2 2 3 3 3 3 x y z x y z (1, 3 t
2、 又 ， 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 1 xy yz zx x y z x y z t = (1 )(1 )(1 ) 1 ( ) ( ) x y z x y z xy yz zx xyz 2 1 ( ) 1 2 2 t x y z xyz t 0 1 1,0 1 1,0 1 1, x y z Q 2 3 3 3 ( ) 0 (1 )(1 )(1 ) 1 3 3 27 x y z t t x y z t 2 3 2 4 1 1 1 ( ) 2 27 6 2 t t t x y z xyz t t 设 ， ， ，则 2 4 1 ( ) 2 t t g t 3 2 1 1 ( )
3、27 6 2 t h t t t (1, 3 t ( ) (1, 2 3 2 g t ，当 时， 2 2 1 1 1 ( ) 1 ( 3 9) 9 3 9 h t t t t t (1, 3 t ( ) 0 h t 在 上单调递增， ( ) h t (1, 3 35 8 ( ) ( , 3 27 9 h t 8 1 ( ) 3 9 x y z xyz 当 中有一个趋于 1，另两个趋于 0 时， 趋于 1 Q , , x y z ( ) x y z xyz 且当 时， ，故所求值域为 。 3 3 x y z 8 ( ) 3 9 x y z xyz 8 (1, 3 9 上述解法的关键在于构造因式
4、和用均值不等式把 (1 )(1 )(1 ) x y z x y z ， ， 三者关系有机结合起来，从而得到问题的突破。这 2 2 2 ( ) x y z 或 xy yz zx xyz2 一方法有普遍的适用性。 例 1：已知 为正实数， ，求证： （第 20 届伊朗 , , a b c 2 2 2 4 a b c abc 3 a b c 奥林匹克） 证明：由 得， 2 2 2 4 a b c abc 2 ( ) 2( ) 4 a b c ab bc ca abc 考虑 (2 )(2 )(2 ) 8 4( ) 2( ) a b c a b c ab bc ca abc 由题设条件可知 均为正 2
5、,2 ,2 a b c 3 3 2 6 ( ) 2 ( ) (2 )(2 )(2 ) 8 4( ) ( ) 3 3 27 a b c a b c a b c a b c a b c 即 8 4( ) 2( ) a b c ab bc ca abc 3 2 2 ( ) 8 4( ) ( ) 3 27 a b c a b c a b c +并设 得 ，即 a b c t 3 2 9 108 0 t t 2 ( 3)( 6) 0 t t 原不等式成立。 2 ( 6) 0, 3 t t Q 例 2：数学通报1830 问题（文【1】 ） 已知 ， ，求证： , , a b c R 2 a b c 1 1
6、 1 1 1 1 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b b c c a a b b c c a 证明：原不等式 8 ( ) 0 9 ab bc ca abc 考虑构造因式 证明 （*） 8 8 8 ( )( )( ) 9 9 9 a b c 8 8 8 8 ( )( )( ) 9 9 9 729 a b c 若 中只要有一个为 ， （*）式必成立； , , a b c 8 9 若 均小于 ，则由均值不等式知（*）式也成立； , , a b c 8 9 若 中仅有一个大于 ， （*）式显然成立； , , a b c 8 9 若 中有两个大于 ，不妨设 ，则 , , a b c
7、 8 9 8 8 , 9 9 a b 2 0 , 9 c = 8 8 8 ( )( )( ) 9 9 9 a b c 8 8 8 ( )( )( ) 9 9 9 a b c 2 16 8 9 ( ) 2 9 a b c 2 2 1 2 8 1 2 8 8 ( ) ( ) ( 0) ( 0) 4 9 9 4 9 9 729 c c 而 8 8 8 ( )( )( ) 9 9 9 a b c 512 64 8 ( ) ( ) 729 81 9 a b c ab bc ca abc 3 8 640 ( ) 9 729 ab bc ca abc ，从而原不等式得证。 8 648 8 ( ) 9 729
8、 9 ab bc ca abc 例 3：中等数学奥林匹克问题高 274 文【2】 已知正实数 满足 ，求证： , , x y z 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z 2 2 2 2 2 2 6 1 1 1 5 xy yz zx x y y z z x 分析：这是一道极富挑战性的难题，所给等式的左边利用均值不等式不难转化为含有 因子的式子，故如何求出 的最大值成为本题的题眼。 xy yz zx xy yz zx 已知等式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z z x x y z 通过换元即可化为前面所举的三元问题，从而采用同样的方法（构造因式法）加以解决。
9、证明：由 得 ， 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y y z z x x y z 设 ，则 且 , , xy a yz b zx c 0 , , 1, a b c 2 2 2 2 1 a b c abc 设 ，则 a b c t 2 2( ) 2 1 t ab bc ca abc 构造因式 (1 )(1 )(1 ) 1 ( ) ( ) a b c a b c ab bc ca abc 3 3 3 ( ) (1 )(1 )(1 ) (1 ) 3 3 a b c t a b c Q 2 3 1 ( ) 1 3 27 t t t a
10、b bc ca abc t + 得： ，即 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 27 t t t t t 3 2 2 9 27 0 t t ， 2 3 (2 3)( 3) 0, 0, 2 t t t t Q 3 2 xy yz zx 利用均值不等式 2 2 2 2 5 4 4 1 (2 ) 1 1 1 1 5 (2 ) xy xy xy x y xy xy 3 5 5 2 2 2 6 2 2 (2 ) (2 )(2 )(2 ) 1 1 (6 2) 5 5 5 5 25 xy xy xy xy xy xy 同理： 2 2 2 (6 2), 1 25 yz yz y z 2 2 2 (6
11、2), 1 25 zx zx z x 4 2 2 2 2 2 2 2 (6 6 6 6) 1 1 1 25 xy yz zx xy yz zx x y y z z x 6 5 当且仅当 时，取 2 2 x y z “ “ 综上所述有关含有 ， ， 的三元问题可以通过 x y z 2 2 2 ( ) x y z 或 xy yz zx xyz 构造因式法来加以解决。 下面练习题，可仿此给出证明，有兴趣的读者不妨可以一试。 1. a，b，c 且 +abc=4，求证 0ab+bc+ca-abc2（2001 年美国 R 2 2 2 a b c 数学竞赛题） 2. 已知非负实数 满足 求证： （第 25
12、届国际 , , a b c 1 a b c 7 2 27 ab bc ca abc 数学奥林匹克试题） 3. 设 a，b，c 且 a+b+c=3, 求证 2( )+3abc9. （数学通讯2010 R 3 3 3 a b c 年 9 月上（学生刊）征解题 27） 4、 （2010 年山东省高中数学预赛试题）设非负实数 满足 ， , , a b c 1 a b c 求证： 1 9 (1 9 ) 4 abc ab bc ac abc 5、 （数学通报2011 年 9 月数学问题 2021） 已知 求证 1 , 0 , , abc c b a . 0 3 2 2 2 2 2 2 ca bc ab c b a 6、 （二十六个优美不等式 19） 若 ， ，求证： , , a b c R 3 a b c 3 3 3 ( 2)( 2)( 2) 1 a b c 参考文献： 1刘双州 数学问题 1830 数学通报 2009.12 2安振平 数学奥林匹克问题（高 274） 中等数学 2010.5 47 摘要：给出美国月刊征解题的简捷解法，并举例归纳出构造因式处理一类三元问题的方法， 再请读者练习 关键词：简捷解法 三元问题 构造因式 方法5 简介： 江苏省常熟市中学 査正开 215500 0512-51318896 男 1963 .11 汉族，1985 年南京师范大学
