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1、矩阵凹凸函数的性质研究重 庆 大 学 硕 士 学 位 论 文（学术学位）学生姓名：薛兰兰指导教师：伍俊良 教 授专 业 ： 运 筹 学 与 控 制 论学科门类：理 学重 庆 大 学 数 学 与 统 计 学 院二 O 一三年四月Study on the Characteristics for MatrixConvex(Concave) FunctionsA Thesis Submitted to Chongqing Universityin Partial Fulfillment of the Requirement for theMasters Degree of ScienceByXue L
2、anlanSupervised by Prof. Wu JunliangSpecialty： Operational Research and CyberneticsCollege of Mathematics and Statistics ofChongqing University, Chongqing, ChinaApril, 2013重庆大学硕士学位论文 中文摘要摘 要矩 阵 作 为 数 学 研 究 的 重 要 工 具 在 数 学 及 其 他 许 多 科 学 学 领 域 都 有 广 泛 的 应用 ， 诸 如 近 代 数 学 、 物 理 学 、 经 济 学 、 生 物 学 、 管 理 科
3、 学 与 工 程 、 图 像 处 理 、 自动 控 制 等 。 其 中 矩 阵 函 数 的 性 质 尤 其 是 凹 凸 性 又 是 矩 阵 理 论 的 重 要 组 成 部 分 ， 传统 上 对 矩 阵 凸 函 数 的 研 究 基 于 两 方 面 ， 一 方 面 是 函 数 本 身 ， 另 一 方 面 是 通 过 矩 阵不 等 式 来 构 造 矩 阵 凸 函 数 。 鉴 于 矩 阵 不 等 式 丰 富 的 内 容 以 及 与 其 他 数 学 分 支 广 泛的 联 系 ， 本 文 利 用 矩 阵 不 等 式 来 研 究 常 见 的 几 类 矩 阵 凸 函 数 以 及 矩 阵 凸 函 数 Jense
4、n不 等 式 形 式 。 与 函 数 的 凸 性 有 关 的 矩 阵 主 要 是 Hermite 矩 阵 ， 基 于 Hermite 矩 阵 ，主 要 内 容 和 创 新 点 如 下 ：1. 研 究 了 矩 阵 凸 函 数 的 Jensen 不等式形式并对其上界进行了估计；2. 研 究 逆 Jensen 不 等 式 形 式 并 拓 展 了 相 关 结 论 ；3. 进 一 步 研 究 了 均 值 算 子 理 论 以 及 基 于 均 值 算 符 的 矩 阵 函 数 凹 凸 性 与 单 调 性的 联 系 。关键词：凸 （ 凹 ） 函 数 ， 单 调 性 ， Jensen 不等式，均值算子，Hermi
5、tian 矩 阵I重庆大学硕士学位论文 英文摘要ABSTRACTAs an important tool to study mathematics and its applications， matrix theory hasbeen widely used in mathematics and many scientific fields, such as mathematics,physics, economics, biology, management science and engineering, image analysis ,automatic control image an
6、alysis etc. And the characterizations of matrix function(especially the convexity and monotonicity) is an important part of the matrixtheory.Traditionally,We can study the characterizations of matrix convex functionsfrom two aspects. One is the function itself, the other is matrix inequality. There
7、areplentiful components about matrix inequalities, also they are used in many branches ofmathematics.But the inequalities related with matrix convex functions mainly isHermite matrix, so this thesis studies several matrix convex functions and its form ofJensen inequality from the latter that based o
8、n Hermite matrix .The main contents andinnovations are as follows:1. Studied on the Jensen inequalities and estimate the upper bound of the Jenseninequalities.2. Studied the reverse Jensen inequalities in the form of matrix convex functionand also expand the related conclusion.3.Based on operator me
9、an theory,further studied the contact between the convexityand monotonicity of matrix function.Keywords： Convex(concave) function, monotonicity, Jensen inequalities, operatormean, Hadamard product, Hermitian matrixII重庆大学硕士学位论文 目 录目 录中文摘要. I英文摘要. II符号说明. IV1 绪 论 . 11.1 课题来源及意义 . 11.2 国内外研究现状及分析 . 21.3 本文的研究方法、内容和创新点 . 51.3.1 本文的研究方法 . 51.3.2 本文的研究内容与创新点 . 51.4 本章小结. 52 相关基本概念和基本理论 . 62.1 基本定义. 62.2 Hermite 矩阵 . 62.3 矩阵凸函数 . 72.4 本章小结. 93 矩阵凸函数 . 103.1 矩阵凸函数 Jensen 不等式. 103.2 矩阵凸函数的逆 Jensen 不 等 式 .
