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1、1北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试：推理与证明本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A； B； C； D。【答案】C2用反证
2、法证明命题：“ m、 nN， mn 可被 3 整除，那么 m、 n 中至少有一个能被 3 整除”时，假设的内容应为()A m、 n 都能被 3 整除B m、 n 都不能被 3 整除C m、 n 不都能被 3 整除D m 不能被 3 整除【答案】B3如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x 轴、 y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过 2000 秒后，这个质点所处的位置的坐标是()A(24,24) B(24,44)C(44,24) D(44,44)【答案】C4已知数列 an的前 n 项和 Sn n2an(n2)，而 a11，通过计算
3、a2， a3， a4，猜想 an ()A B2(n 1)2 2n(n 1)C D22n 1 22n 1【答案】B5 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面 ，直线 a平面 ，直线 b平面 ，则直线 b直线 a”的结论显然是错误的，这是因为( ) A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D非以上错误【答案】A6已知 p3 q32，求证 p q2，用反证法证明时，可假设 p q2，已知a， bR，| a| b|y； Bx=y； Cxy； Dxy。【答案】A8如果数列 na是等差数列，则( )A 1845B 1845aaC 1845aD 1845a【答案
4、】B9已知向量 )3,(xa, ),2(xb,且b, 则由 x的值构成的集合是( )A2,3 B -1, 6 C 2 D 6【答案】C10实数 a、b、c 不全为 0 的条件是（ ）Aa、b、c 均不为 0； Ba、b、c 中至少有一个为 0；Ca、b、c 至多有一个为 0； Da、b、c 至少有一个不为 0。【答案】D11已知2()(1),1fxfx*xN（ ） ，猜想 (fx） 的表达式为( ) A4()2xfB2()fC1)fD21fx【答案】B12 某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用 a(i， j)表示第 i 行从左数
5、第 j 个数，如 a(4，3) = 10，则 a(21，6) = ( ）A219 B211 C209 D213【答案】B3第卷(非选择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知数列 an的前 n 项和 Sn n2an(n2)，而 a11，通过计算 a2， a3， a4，猜想an_.【答案】2n(n 1)14如果数列an的前 n 项和 Sn=2n2-3n，那么这个数列是 数列。【答案】等差15已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列
6、的公差类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：_；已知数列a n是等和数列，且 a1=2，公和为 5，那么 a18的值为_这个数列的前 n 项和Sn的计算公式为_【答案】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 3 n12S5， 为 奇 数， 为 偶 数16观察下列方式：5 5=3 125，5 6=15 625，5 7=78 125，则 52 011的末四位数字为_.【答案】82154三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知 a， b， c 为正实数，且 a b c1，求
7、证：( 1)( 1)( 1)8.1a 1b 1c【答案】 a b c1，且 a， b， c 为正实数， (1a 1)(1b 1)(1c 1) (a b ca 1)(a b cb 1)(a b cc 1) (ba ca)(ab cb)(ac bc)2 2 2 8.baca abcb acbc18通过计算可得下列等式： 122342 1)1(2nn将以上各式分别相加得： n)321()(2L即：321nL类比上述求法：请你求出 22231nL的值.【答案】 323 1233431)1(23nn将以上各式分别相加得： n )321()3()( 2223 LL所以： (113222 nn)(619已知
8、：空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，判断直线 EF 与平面 ABD 的关系，并证明你的结论.【答案】平行； 提示：连接 BD，因为 E，F 分别为 BC，CD 的中点， EFBD.520已知 0,ab，求证： ab【答案】 Q,要证 ab成立只需证 22()()abb成立 只需证2a只需证3b只需证 22()()aab 只需证 0b只需证 2() 而 a显然成立，则原不等式得证21 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列， ,abc分别为三个内角 A、B、C 所对的边，求证： cbacba31。【答案】要证 ，即需证 3cba。即证 1cba。又需证 )()()
9、(bacb，需证 22baccABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。B=60。由余弦定理，有 o60s22a，即 ac2。 2bac成立，命题得证。22已知 a,b,c 是互不相等的实数，求证：由 y=ax2+2bx+c，y=bx 2+2cx+a，y=cx 2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点.【答案】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与 x 轴没有两个不同的交点)，由 y=ax2+2bx+c，y=bx 2+2cx+a，y=cx 2+2ax+b 得 1=(2b)2-4ac0， 2=(2c)2-4ab0, 3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得，64b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0，2a 2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0，(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20,a=b=c，这与题设 a,b,c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.
