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1、多学一点 离成功更近一步1中考数学专题-面积问题（2）面积倍分问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。中考数学面积问题的考点主要有：（1）面积的函数关系式问题；（2）面积的最值问题；（3）面积的倍分问题。前二个考点
2、在上次的专题中已经讲过，今天我们来探究面积的倍分问题。一、典型例题：1、 （2007 江苏扬州）如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ） 动ABCD3ABa3点 同时从 点出发，分别沿 ， 运动，速度是 厘米秒过MN， B1作直线垂直于 ，分别交 ， 于 当点 到达终点 时，点 也随NPQ， NCM之停止运动设运动时间为 秒t（1）若 厘米， 秒，则 _厘米；4a1tM（2）若 厘米，求时间 ，使 ，并求出它们的相似比；5BAD （3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 与梯形 的面积相等，求 的取a值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 ，梯形 ，PMBNQDA梯形 的面
3、积都相等？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由PQCNa分析：问题（1）比较容易解答，问题（2）利用三角形相似的性质也容易解决，问题 （3）需要利用 BM=BN=t,利用面积 相等求出 t 和 a 的关系式，利用 t 的范围求 a 的取值范围，问题（ 4）只需要在问题（3）的基础上，让梯形 PQCN 的面积与梯形 PMBN 的面积相等即可。解 （1） ，4PM（2） ，使 ，相似比为tNBPAD 3:2（3） ，CMBCQ ， ，D Q CP NBMAD Q CP NBMA多学一点 离成功更近一步2， 即 ，AMPBC PAMNB()attaPMtQ，atQ)(3当梯形 与梯形 的面积相等，
4、即QD()()22ADBNM化简得 ，2)(2)(3)( tatat 6at， ，则 ，tQ 6 63 ， （4） 时，梯形 与梯形 的面积相等3a PMBNQDA梯形 的面积与梯形 的面积相等即可，则PCNCNPM，把 代入，解之得 ，所以 ()tta6a23a23a所以，存在 ，当 时梯形 与梯形 的面积、梯形 的23PBQDAQCN面积相等温馨提示：本题考查与面积有关的问题，解答的关键是将梯形的面积相等转化后求解，另外，在解决这一类问题时，要善于运用数形结合的思想，把几何条件转化，建立合适的数学模型，本题就充分运用了方程的思想。二、名题精练：1、 （2008 年浙江丽水）如图，在平面直角
5、坐标系中，已知点 坐标为（2，4） ，直线A与 轴相交于点 ，连结 ，抛物线 从点2xBOA2xy沿 方向平移，与直线 交于点 ，顶点 到 点OA2xPM时停止移动（1）求线段 所在直线的函数解析式；yBOAPM x2（第 24 题）多学一点 离成功更近一步3（2）设抛物线顶点 的横坐标为 ,Mm用 的代数式表示点 的坐标；mP当 为何值时，线段 最短；mPB（3）当线段 最短时，相应的抛物线上是否存在点 ，使 的面积与PBQMA的面积相等，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由MA2、 （2010 年江苏宿迁） （本题满分 12 分）已知抛物线 交 轴于 、 ，交cbxy2 )0,1
6、(A),3(B轴于点 ，其顶点为 CD（1）求 、 的值并写出抛物线的对称轴；xyO DCBA（第 28 题）多学一点 离成功更近一步4（2）连接 ，过点 作直线 交抛物线的对称轴于点 求证：四边形BCOBCEE是等腰梯形；DE（3）问 Q 抛物线上是否存在点 ，使得OBQ 的面积等于四边形 的面积的 ？QODBE31若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由3、 （2009 湖南邵阳）如图、直线 l 的解析式为 yx+4, 它与 x 轴、y 轴分相交于A、B 两点，平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、y 轴分别相交
7、于 M、N 两点，运动时间为 t 秒（0t4）（1）求 A、B 两点的坐标；EM xyO DCBA（第 28 题2）多学一点 离成功更近一步5（2）用含 t 的代数式表示 MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN,记MPN 和OAB 重合部分的面积为 S2；当 2t4 时，试探究 S2 与之间的函数关系；在直线 m 的运动过程中，当 t 为何值时，S 2 为OAB 的面积的 ？165xylmO AMNBPxylmO AMNBPEF多学一点 离成功更近一步6答案部分：1、解：（1）设 所在直线的函数解析式为 ，OAkxy （2，4） ， , ,k2 所在直线的函数解析式为
8、.2yx（2）顶点 M 的横坐标为 ，且在线段 上移动，mOA （0 2）.ym顶点 的坐标为( , ).抛物线函数解析式为 .2(yx当 时， （0 2）.2x)m4m点 的坐标是（2， ）.P24 = = ， 又0 2，B2(1)3当 时，PB 最短. 1m（3）当线段 最短时，此时抛物线的解析式为 .（1 分）12xy假设在抛物线上存在点 ，使 .QMAPSV设点 的坐标为（ ， ）.x23当点 落在直线 的下方时，过 作直线 / ，交 轴于点 ，OCAOyC ， ，3PB4A ， ， 点的坐标是（0， ）.1C1点 的坐标是（2，3） ，直线 的函数解析式为 .P12xy ，点 落在直
9、线 上.QMAPSV 2xy = .2x1x解得 ，即点 （2，3）.12,Q点 与点 重合.P此时抛物线上不存在点 ，使 与 的面积相等.MAPDyO A BPM x2CE多学一点 离成功更近一步7当点 落在直线 的上方时，QOA作点 关于点 的对称称点 ，过 作直线 / ，交 轴于点 ，PDEAOyE ， ， 、 的坐标分别是（0，1） ， （2，5） ，1A1E直线 函数解析式为 .D2xy ，点 落在直线 上.QMAPSV = .23x1x解得： ， .12代入 ，得 ， .2xy15y25y此时抛物线上存在点 ，,Q25,2Q使 与 的面积相等. MAP综上所述，抛物线上存在点 ，1
10、2,5,2使 与 的面积相等.Q2、解：（1）求出： ， ，抛物线的对称轴为：x=2 4b3c(2) 抛物线的解析式为 ，易得 C 点坐标为（0，3） ，D 点坐标为（2，-2xy1）设抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（2，0） ，连接OD，DB ，BE OBC 是等腰直角三角形， DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2） ，BOE= OBD= OEBDo45四边形 ODBE 是梯形 在 和 中，ODFRtEBtOD= ，BE=5122 5122FBEOD= BE四边形 ODBE 是等腰梯形 (3) 存在， 由题意得： 29312DEOBSDE四 边 形设
11、点 Q 坐标为（x，y） ，多学一点 离成功更近一步8由题意得： =yOBSQ231三 角 形 23911ODBES四 边 形 1y当 y=1 时，即 ， ， ，1342x1x2xQ 点坐标为（2+ ，1）或(2- ，1) 2当 y=-1 时，即 ， x=2，2xQ 点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点 Q （2+ ，1） ，Q (2- ，1) ，Q （2，-1）1223使得 = OBQS三 角 形 ODBE四 边 形313、解：（1）当 0x时， 4y；当 0时， 4x (0)4AB， ， （ ， ） ；（2） 1OMANBQ ， ， 2112ONtSMONt， （3）当 t 时，易知点 P在 B 的外面，则点 P的坐标为 ()t， ,F点的坐标满足 4xyt， ， 即 ()Ft， ，同理 (4)Et， ，则 24Ett-，所以 2MPNFOMNPEFSSS EF Q1Q3Q2多学一点 离成功更近一步922 2113428tPEFtttt()；当 0 时， 25156S， ，解得 15tt， ， 两个都不合题意，舍去；当 24 时， 2238t，解得 347tt， ，综上得，当 7t或 t时， 2S为 OAB 的面积的 516
