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1、2012 届高考复习压轴题精选训练（一）命题组：高三数学教研组 班级： 姓名： 得分： （一）已知：正数数列 an 中，若关于 x 的方程 x2-an+1x+3an+24=0(nN+)有相等的实根（1）若 a1=1，求 a2，a 3 的值；并证明 11+a1+11+a2+11+an34（2）若 a1=a，b n=an-（3n-12）2 n，求使 bn+1bn 对一切 nN +都成立的 a 的取值范围（二）已知：a0，f（x）=x 3+ax2-a2x-1，g（x）=ax 2-x-1（1）若 a0 时，求 y=f（x）的单调区间；（2）若 y=f（x）与 y=g（x）在区间 (a，a+12)上是增
2、函数，求 a 的范围；（3） 若 y=f（x）与 y=g（x ）的图象有三个不同的交点，记 y=g（x）在区间0 ， 14上的最小值为 h（a），求 h（a）你定能做对，加油2012 届高考复习压轴题精选训练（一）参考答案（一）详细解析【考点】数列与不等式的综合【专题】综合题【分析】（1）由 =an+1-43an+24=0 得 an+1=3an+2，再由 an+1=3an+2 得an+1+1=3（a 1+1），由此能够证明 11+a1+11+a2+11+an34（2）当 a1=a 时，a n+1=（a+1）3 n-1，b n=（a+1）3 n-1-1-（3n-12）2 n，bn+1-bn=（a
3、+1）23 n-1-（3n-6）2 n0 对一切 nN +都成立，由此能求出使 bn+1b n对一切nN +都成立的 a 的取值范围【解答】解：（1）由 =an+1-43an+24=0 得 an+1=3an+2 a_=5，a3=17(2 分)由 an+1=3an+2 得 an+1+1=3（a 1+1），所以 an+1 为首项为 2 公比为 3 的等比数列得 an+1=23n-1（5 分），11+a1+11+a2+11+an=121+13+13n-1=34-34(13)n34（8 分）（2）当 a1=a 时，a n+1=（a+1）3 n-1，b n=（a+1）3 n-1-1-（3n-12）2 n
4、bn+1-bn=（a+1）23 n-1-（3n-6）2 n0 对一切 nN +都成立，所以 a+1(23)n-1(3n-6)令 cn=(23)n-1(3n-6)， cn+1-cn=(23)n-1(-n+4)，所以 (cn)max=c4=c5=169，所以 a79（16 分）【点评】本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意公式的合理运用（二）详细解析【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】常规题型；计算题【分析】（1）先求出导函数 f（x），在函数的定义域内解不等式 f（x）0 和f（x）0，即可求出函数的单调区间；（2）讨论 a 的正负，根据函数 y=f（x
5、）与 y=g（x）的单调增区间是区间 (a，a+12)的子集建立方程组，解之即可；（3）欲使 y=f（x）与 y=g（x）的图象有三个不同的交点，则 x3+ax2-a2x-1=ax2-x-1 有三个解，可求出 a 的范围，根据 a 的范围求出 y=g（x）在区间0， 14上的最小值为h（a）即可【解答】解：（1）f （x）=3x 2+2ax-a2=0解得：x= a3 或-a当 x（- ， a3）或（-a， +）时，f（x）0 ，则 f（x）的增区间为（-， a3），（-a，+）当 x (a3，-a) 时，f（x） 0，减区间为 (a3，-a)（4 分）（2）当 a0 时，则有 a+12a3 或
6、-aaa+1212a得 a（-，-1（7 分）当 a0 时，则有 a+12-a 或 a3aa12a得 a22，+)（10 分）所以 a(-，-122，+)（3）由 x3+ax2-a2x-1=ax2-x-1 得 x（x 2-a2+1）=0 有三个解，所以 a1 或 a-1 （12 分）得 h(a)=-14a-1(a2)a16-54(a-1 或 1a2)（16 分）【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，以及图象交点的问题，常常转化成方程根的个数，属于中档题2012 届高考复习压轴题精选训练（二）命题组：
7、高三数学教研组 班级： 姓名： 得分： (一)定义数列a n：a 1=1，当 n2 时， an=an-1+rn=2kkN*2an-1n=2k+1kN* 其中 r0 常数（）若当 r=0 时，S n=a1+a2+an；（1）求：S n；（2）求证：数列S 2n中任意三项均不能构成等差数列；（）求证：对一切 nN *及 r0，不等式 k=1n2ka2k-1a2k4 恒成立（二）已知函数 f(x)=Px-Px-lnx， g(x)=lnx-Px(1+e2-2eP2)，其中无理数e=2.17828（）若 P=0，求证：f（x）1-x；（）若在其定义域内 f（x）是单调函数，求 P 的取值范围；（）对于区
8、间（1，2）中的任意常数 P，是否存在 x00，使 f（x 0）g（x 0）成立？若存在，求出符合条件的一个 x0；否则说明理由一定相信要自己哦2012 届高考复习压轴题精选训练（二）参考答案（一）详细解析【考点】反证法与放缩法；数列的求和；不等式的证明【专题】计算题；证明题【分析】（1）先计算数列的前 8 项猜想数列的特点，数列a 2k-1、a 2k（kN *）均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证明；（1）欲证此不等式 k=1n2ka2k-1a2k4 恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进行放缩即得【解答】解：（1）当 r=0 时，计
9、算得数列的前 8 项为：1，1，2，2，4，4，8，8从而猜出数列a 2k-1、a 2k（kN *）均为等比数列 （2 分）a 2k=a2k-1=2a2k-2，a 2k+1=2a2k=2a2k-1，数列a 2k-1、a 2k（kN *）均为等比数列，a 2k-1=a2k=2k-1 （4 分）S 2k=2（a 1+a3+a5+a2k-1）=2（2 k-1）=2 k+1-2，S 2k-1=S2k-2+a2k-1=2k-2+2k-1=32k-1-2， Sn=2n2+1-2，n=2k32n-12-2n=2k-1kN*. （6 分）证明（反证法）：假设存在三项Sm，S n，S p（m，n，pN *，mn
10、p）是等差数列，即 2Sn=Sm+Sp成立因 m，n，p 均为偶数，设 m=2m1，n=2n 1，p=2p 1，（m 1，n 1，p 1N *）， 22(2n1-1)=2(2m1-1)+2(2p1-1)，即 22n1=2m1+2p1， 2n1-m1+1=1+2p1-m1，而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；（10 分）（2）a 2k=a2k-1+r=2a2k-2+r，a 2k+r=2（a 2k-2+r），a 2k+r是首项为 1+2r，公比为 2 的等比数列，a 2k+r=（1+2r）2 k-1又a 2k+1=2a2k=2（a 2k-1+r），a 2k+1+2r=2（a 2k-1+2r）
11、，a 2k-1+2r是首项为 1+2r，公比为 2 的等比数列，a 2k-1+2r=（1+2r）2 k-1 （12 分） 2ka2k-1a2k=2k(1+2r)2k-1-2r(1+2r)2k-1-r= 2k-1(1+2r)2k-2-r(1+2r)2k-1-r= 21+2r1(1+2r)2k-2-r-1(1+2r)2k-1-r， k=1n2ka2k-1a2k=21+2rk=1n1(1+2r)2k-2-r-1(1+2r)2k-1-r= 21+2r1(1+2r)2-1-r-1(1+2r)2n-1-r21+2r21+2r-2r=41+2rr0， 41+2r4 k=1n2ka2k-1a2k4 （16 分
12、）【点评】本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题（二）详细解析【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；证明题分析：（）若 P=0，要证 f（x）1-x；即可转化为 lnx-x+10 在定义域内恒成立即可在通过求导，研究其单调性，看函数的最小值，只要函数的最小值大于 0 即可（）若在其定义域内 f（x）是单调函数，求 P 的取值范围；先要明确定义域；在求导，求导后，只要满足导数在某区间恒大于 0 或在某区间恒小于 0 即可在这里要注意对参数p 进行讨论（）对于区间
13、（1，2）中的任意常数 P，是否存在 x00，使 f（x 0）g（x 0）成立，这种题型属探索性问题；解决的关键在于弄懂题意据题意可转化为：令 F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+e2-2epx，则问题等价于找一个 x00 使 F（x）0 成立，故只需满足函数的最小值 F（x） min0 即可【解答】解：（）证明：当 p=0 时，f（x）=-lnx令 m（x）=lnx-x+1，则 m(x)=1x-1=1-xx若 0x1，m（x）0，m（x）递增；若 x1，m（x）0，m（x）递减，则 x=1 是 m（x）的极（最）大值点于是 m（x）m（1）=0，即 lnx-x+10故当 p=0 时
14、，有 f（x）1-x；（4 分）（）解：对 f(x)=px-px-lnx 求导，得 f(x)=p+px2-1x=px2-x+px2若 p=0， f(x)=-1x0，则 f（x）在（0，+）上单调递减，故 p=0 合题意若 p0， h(x)=px2-x+p=p(x-12p)2+p-14pp-14p则必须 p-14p0，f(x)0，故当 p12 时，f（x）在（0，+）上单调递增若 p0，h（x）的对称轴 x=12p0，则必须 h（0）0，f（x）0，故当 p0 时，f（x）在（0，+）上单调递减综合上述，p 的取值范围是 (-，012，+)；（）解：令 F(x)=f(x)-g(x)=px-2ln
15、x+e2-2epx则问题等价于找一个 x00 使 F（x）0 成立，故只需满足函数的最小值 F（x） min0 即可因 F(x)=p-2x-e2-2epx2=(px-e)(px-2+e)px2=px2(x-ep)(x-2-ep)，而 x0，1p2，ep2p0，2-ep0，故当 0xep 时，F（x）0，F（x）递减；当 xep 时，F（x）0，F（x）递增于是， F(x)min=F(ep)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-40与上述要求 F（x） min0 相矛盾，故不存在符合条件的 x0【点评】（1）若在其定义域内 f（x）是单调函数，求参数的取值范围；先要明确定义域；在求导，求导后，只要满足导数在某区间恒大于 0 或在某区间恒小于 0 即可这是通性通法（2）对于区间任意给定的某区间，某
