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1、2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：加油站储存燃油的地下储油罐，通常用罐容表进行计算，来反映罐内油位高度和储油量的变化情况。但是某些外界因素使得罐体变位，导致罐容表发生改变。因此需要定期对罐容表进行重新标定。问题一：研究罐体变位对灌容表的影响。首先用积分导出小椭圆型储油罐无变位时的油液容积与油位高度的关系。用分段积分的方法算出储油罐倾斜时油位高度与贮油
2、量的关系式。根据积分得出的油位高度与贮油量的关系，用 MATLAB 软件求解得出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 （见附录表一）最后分别用实验数据和计算得出的数据拟合曲线进行对比，重合度较高，说明此模型可行性较好。问题二：研究罐体横向，纵向都有变位时，储油量与油位高度及变位参数之间的关系。我们将变位分为两步进行，先纵向变位，得出一个储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型。因为横向变位只于高度有关，此变位处理只需对高度处理。在计算储油罐贮油量时，将油罐分为三部分求解，即 。分别对三部分积分求解。右左身 VV关键词： 储油罐的变位 罐容表 油位高度 贮油量 体积积分 曲线拟合一
3、、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统” ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位） ，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1（见附录）是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2（见附录）是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3（见附录）是罐体横向偏转变位的截
4、面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体） ，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10 的纵向变两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/ 出油过程中的实际检测数据（附件2） ，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，
5、并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、基本假设1. 假设进入储油罐的油位探针油管，进油管，出油管体积很小，相对储油罐他们的体积可以忽略。2. 假设小椭圆型储油罐的壁厚足够薄，储油罐的容积就为外部体积。3. 假设储油罐内油温恒定，不会出现热膨胀等现象。4. 假设油浮子可以一直随液面上升而上升，不会被卡住。三 、模型的符号说明符号 符号说明V油罐内油的体积H油罐内油的液面高度a椭圆的长半径b椭圆的短半径L 小椭圆型油罐纵向长度身V椭圆柱体内油液体积左左半球油液体积右右半球油液体积四、模型分析建立及求解问题
6、一4.1 罐体无变位4.1.1 罐体无变位模型分析分析并绘出储油罐无变位时二维示意图形，如下图：小椭圆型油罐无变位时纵截面图 横截面图储油罐内油品体积是油品液面高度的函数。某一液面高度下,罐内油品体积为V 。根据积分的概念，体积元素 ，dySv)(xL2)(对椭圆有： （ ， ） 。12byax89.0a6.0b求出 4.1.2 罐体无变位模型建立及求解2222 1arcsin(2 bhbhLbadybaLVh 又， H积分得出： 21)arcsin()2()( 2 bbHbHbLa 4.2 罐体倾斜角为=4.10的纵向变位4.2.1 罐体倾斜纵向变位模型分析分析时分别以油位探针所在直线为Z坐
7、标，以椭圆体的纵轴为 Y坐标，建立平面坐标系。绘出储油罐倾斜变位，变位角 =4.10时罐身纵截面的二维示意图形。如下：小椭圆型储油罐纵向倾斜变位后示意图小椭圆型储油罐纵向倾斜变位后会出现三种况的剩余油液容积的计算。为直观理解，用三维软件仿真模拟得到：情况一： tan2LH立体图一 立体图二情况二： tan2tan2LHLb立体图三立体图四情况三： HLbtan2 立体图五立体图六4.2.2 罐体倾斜纵向变位模型建立及求解1）.当 时，作如图分析，tan22LHLb小椭圆型储油罐纵向倾斜变位后示意图 横向示意图 储油罐倾斜放置时，取坐标系如上图，由立体图二，可以看出垂直于Y 轴之平面与液体之截面为一弓形。
