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1、2009 2010 学年第 一学期 计算方法 教案 计 0701-0703 4h 计算方法引论、徐翠薇，高等教育出版社 2008 年 4 月第三版 第二章 Newton 插值法 1第二章 插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。Newton插值法Lagrange插值多项式的一个缺点是没有承袭性质，增加插值节点时，需要重新计算所有插值基函数。牛顿插值多项式克服了这一缺点：增加一个节点时，可在原插值多项式基础上增加一项构成高一阶的插值多项式。（1）差商即其性质证 采用数学归纳法即证性质 2 差商与节点排列顺序无关。（2）线性牛顿插值设互异 y0=f(x0)， y1=f(x1),构
2、造线性插值函数的牛顿格式 N1(x)使 y0= N1 (x0)， y1= N1 (x1)。利用点斜式，构造 N1(x)=a0+a1(x-x0)由 f(x0)=N1 (x0)= a0f(x1)= N1 (x1)= f(x0) +a1(x1-x0)得上的二在节点定义 设函数 y=f(x)在区间 a,b上 n+1个互异节点 0 xj n 处的值为： yi = f(xi) （ i=0,1,2, ,n） 称jijiji xxxfxfxxf)()(, 为 f(x) 在节点 xi, 上的一阶差商； 称 kikjjikji xxxxfxxfxxxf , 为 在节点阶差商 ； 依次类推 ： 称nnnn xxxx
3、xfxxxfxxxf 02111010,.,.,., 为上的 n 阶差商.商；xjf(x) xkxj,xi,f(x)x0, x1, , xn).()()()()(,.,),.,2,1,0()(,.,11001010nnj jjnjnxxxxxxxxxfxxxfnjxfxxxfn 其中的线性组合，即函数值是阶差商性质)()(0101 ,10 xxfxxxfxf a1=2009 2010 学年第 一学期 计算方法 教案 计 0701-0703 4h 计算方法引论、徐翠薇，高等教育出版社 2008 年 4 月第三版 第二章 Newton 插值法 2N1 (x)= f(x0) + (x-x0)（3）二
4、次牛顿插值设互异 y0=f(x0)， y1=f(x1), y2=f(x2),构造二次牛顿插值多项式 N2(x)使 y0= N2(x0)， y1= N2(x1)， y2= N2(x2)。令 N2(x)=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0) (x-x1)因在构造 N1 (x)过程中已得 a0和 a1， 只要求 出 a2即可由f(x2)=N2(x2)= f(x0) + (x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)得N2(x2)= f(x0) + (x2-x0)+ (x2-x0)(x2-x1)(4)一般情况设互异 yi=f(xi)， i=0,1,n。构造 n 次牛顿插值多项式 Nn(x)使
5、yi= Nn(xi)，i=0,1,n,。根据差商定义分段插值（1）高阶插值与龙格现象构造插值多项式时，根据误差表达式，是否多取插值点比少取插值点好？不一定！若被插函数是多项式，则多取插值点比少取插值点好。但对某些函数，有时插值点越多，效果越不理想。例如给定对-1，1作等距分割，取 h=2/10=0.2，xi= -1+0.2i， ，, 10 xxf, 10 xxf a2= , 210 xxxf, 10 xxf , 210 xxxf插值公式和余项。上的在节点分别为、其中 Newton)()()()(,.,).()(.,)(,)()()(010110210101000ninnnnnxxfxR)(n
6、xNxRxNxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf,.,)().()( 10110 nnn xxxxfxxxxxxxx )(n+1 xN )(n xN ,.,)().()( 10110 n+1nn xxxfxxxxxxxx 225x11=x)f( x-1,1225x11,x( ii )2009 2010 学年第 一学期 计算方法 教案 计 0701-0703 4h 计算方法引论、徐翠薇，高等教育出版社 2008 年 4 月第三版 第二章 Newton 插值法 3i=0，1 ， 10。构造 10 次插值多项式 L10(x),在 0 点附近, L10(x)近似 f(x)的效果好，但
7、在 x=-0.90,-0.70, 0.70, 0.90 时，误差较大！插值多项式在插值区间内有激烈振荡，这种现象称龙格现象。P29 图 2-4。龙格现象揭示了插值多项式的缺陷，表明高次多项式的插值效果不一定优于低次多项式的插值效果。插值误差由截断误差和舍入误差组成，由插值节点和计算产生的舍入误差，在插值过程中可能被扩散或放大，造成插值不稳定，高次多项式的稳定性一般比较差。（2）分段线性插值加密插值节点不一定能使插值函数很好逼近被插函数，于是就有了分段线性插值的概念。基本思想：给定区间a，b，作分割 a=x0x1xn=b，在每个小 xi， xi+1上做 f(x)的以 xi,xi+1为节点的线性插值。然后，把每个小区间上的线性插值函数连接起来得到 f(x)的分段线性插值函数 p(x)。几何上， p(x)是平面上以点( xi,f(xi)为折点的折线。X0 X1P1(x)f(x)X2 X3 X4 X5o X
