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1、第二专题 广义逆矩阵广义逆矩阵是 E.H.Moore 于 1920 年首次提出来的，1955 年R.Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组 的解开始讨论( 称为超定方程；mnbxA n称为亚定方程)。m若存在向量 ，使 成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组，若 是列满A秩的，则有唯一解；否则有无穷多解 。我们要找到唯一A1的极小范数解 。对于矛盾方程我们要
2、找到它的近似解mA4,1最小二乘解 ；如果最小二乘解不唯一，我们要找l3到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解）， 。A4,3211 矩阵的左逆与右逆设 是 阶矩阵， 可逆当且仅当存在 阶矩阵 ，使得AnAnBIB当 可逆时，其逆唯一，记为 .1下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到 矩阵上，定义一m种单侧逆.一、满秩矩阵与单侧逆定义 1 设 ，若存在矩阵 ，使得nmRAnRBnIBA则称 是左可逆的，称 为 的一个左逆矩阵，记为 .A 1LA若存在矩阵 ，使得mnRCIA则称 是右可逆的，称 为 的一个右逆矩阵，记为 .A 1RA下面给出矩阵左逆与右逆的几个
3、等价条件.定理 1 设 ，则下列条件是等价的： nmR(1) 是左可逆的； (2) 的零空间 ；A0)(N(3) ,即 是列满秩的；(4) 是可逆的.nA)(, T证明 ，设 是左可逆的，则存在 ，使得)2(1mnRB， ，于是 ，即nIB,Nx0x 0AxIx证 的解空间 .A)(，由 ，再根据线性方程组解的理论知，3)2(A，从而 是列满秩的，当然有 .nNnR)(dimnm，设 ,由4)(R,知 是可逆的.AAT)(iiT，由 可逆，得 知)1(T nI1是 的一个左逆矩阵，即 。T( TLA1)(注：左逆的一般表达式为：UATL11)(其中 是使关系式 成立的任意 阶方阵。U(rank
4、rankT m定理 2 设 ，则下列条件是等价的：mRA(1) 是右可逆的； (2) 的列空间 ；AR)(3) ,即 是行满秩的；(4) 是可逆的。n)(, T其证明留给读者.，由 得 ，)3(1mArankBrkIrankmm)()()( n， 是行满秩的；由 ，知AR( TIA1是 的一个右逆矩阵，即 。1)T 1)(TR注：右逆的一般表达式为： 11)(TRV其中 满足 。V)(ArankrankT例 1 矩阵 是右可逆的，不是左可逆的。由于054A10/132R注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一
5、的。若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。二、单侧逆与解线性方程组定理 3 设 是左可逆的， 是 的一个左逆矩阵，nmRAmnRBA则线性方程组 有形如 解的充要条件是bXb0)(AI若上式成立，则方程组有唯一解 bT1)(证明 设方程组 有解 ，则 ，bAX0 ABbXA00)(从而 .反过来，若 ，则 ，从)(BIm)(bBIm而 是方程组的解.0当方程组有解时，因为 左逆，所以 ，从而方程组AnAR)(有唯一解.由 是 的一个左逆矩阵，所以bAXT1)(，即 为bT1)(bXT1)(的唯一解。注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。定理 4 设 是右可逆的，则线性方程组 对任何nmRAA都有解。 且对 的任意一个右逆矩阵 ， 是mb 1RbXR1其解。 特别地， 是方程组 的一个解。bXT1)(证明 因 右可逆，则 ，对任何 ，都有AmRIA1m,b即 是方程组 的解。bXR1X事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。
