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1、第二专题 广义逆矩阵广义逆矩阵是 E.H.Moore 于 1920 年首次提出来的,1955 年R.Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后,广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用,更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此,我们从线性方程组 的解开始讨论( 称为超定方程;mnbxA n称为亚定方程)。m若存在向量 ,使 成立,则称线性方程组为相容方程组,否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组,若 是列满A秩的,则有唯一解;否则有无穷多解 。我们要找到唯一A1的极小范数解 。对于矛盾方程我们要
2、找到它的近似解mA4,1最小二乘解 ;如果最小二乘解不唯一,我们要找l3到唯一的最小二乘解,称为最佳的最小二乘解(或极小范数最小二乘解,或最佳逼近解), 。A4,3211 矩阵的左逆与右逆设 是 阶矩阵, 可逆当且仅当存在 阶矩阵 ,使得AnAnBIB当 可逆时,其逆唯一,记为 .1下面,我们把方阵的逆矩阵概念推广到 矩阵上,定义一m种单侧逆.一、满秩矩阵与单侧逆定义 1 设 ,若存在矩阵 ,使得nmRAnRBnIBA则称 是左可逆的,称 为 的一个左逆矩阵,记为 .A 1LA若存在矩阵 ,使得mnRCIA则称 是右可逆的,称 为 的一个右逆矩阵,记为 .A 1RA下面给出矩阵左逆与右逆的几个
3、等价条件.定理 1 设 ,则下列条件是等价的: nmR(1) 是左可逆的; (2) 的零空间 ;A0)(N(3) ,即 是列满秩的;(4) 是可逆的.nA)(, T证明 ,设 是左可逆的,则存在 ,使得)2(1mnRB, ,于是 ,即nIB,Nx0x 0AxIx证 的解空间 .A)(,由 ,再根据线性方程组解的理论知,3)2(A,从而 是列满秩的,当然有 .nNnR)(dimnm,设 ,由4)(R,知 是可逆的.AAT)(iiT,由 可逆,得 知)1(T nI1是 的一个左逆矩阵,即 。T( TLA1)(注:左逆的一般表达式为:UATL11)(其中 是使关系式 成立的任意 阶方阵。U(rank
4、rankT m定理 2 设 ,则下列条件是等价的:mRA(1) 是右可逆的; (2) 的列空间 ;AR)(3) ,即 是行满秩的;(4) 是可逆的。n)(, T其证明留给读者.,由 得 ,)3(1mArankBrkIrankmm)()()( n, 是行满秩的;由 ,知AR( TIA1是 的一个右逆矩阵,即 。1)T 1)(TR注:右逆的一般表达式为: 11)(TRV其中 满足 。V)(ArankrankT例 1 矩阵 是右可逆的,不是左可逆的。由于054A10/132R注意到右逆最后一行元素是完全任意的,故存在无穷多个右逆矩阵。一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一
5、的。若同时左可逆和右可逆,则此矩阵存在正则逆。二、单侧逆与解线性方程组定理 3 设 是左可逆的, 是 的一个左逆矩阵,nmRAmnRBA则线性方程组 有形如 解的充要条件是bXb0)(AI若上式成立,则方程组有唯一解 bT1)(证明 设方程组 有解 ,则 ,bAX0 ABbXA00)(从而 .反过来,若 ,则 ,从)(BIm)(bBIm而 是方程组的解.0当方程组有解时,因为 左逆,所以 ,从而方程组AnAR)(有唯一解.由 是 的一个左逆矩阵,所以bAXT1)(,即 为bT1)(bXT1)(的唯一解。注:虽然左逆矩阵不唯一,但方程的解唯一。定理 4 设 是右可逆的,则线性方程组 对任何nmRAA都有解。 且对 的任意一个右逆矩阵 , 是mb 1RbXR1其解。 特别地, 是方程组 的一个解。bXT1)(证明 因 右可逆,则 ,对任何 ,都有AmRIA1m,b即 是方程组 的解。bXR1X事实上,矩阵的左逆(或右逆)矩阵还是矩阵的减号逆,自反减号逆,最小范数广义逆,最小二乘广义逆和加号逆。